≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Школа экспертов
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»

Ниже представлены ученические решения экзаменационных заданий. Оцените каждое из них в соответствии с критериями проверки заданий ЕГЭ. После нажатия кнопки «Проверить» вы узнаете правильный балл за каждое из решений. В конце будут подведены итоги.

Задание 513094
Задание 513095
Задание 513096
Задание 513097
Задание 513098
Задание 515920


Задание № 513094

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.


Решение

а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S пирамиды на основание дает точку O, которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O делит медианы в отношении 2 : 1, то есть

Рассмотрим высоту SE треугольника SAB. Точка F1 являеся ее серединой. Следовательно, ее проекция на медиану CE делит отрезок OE пополам. В свою очередь отрезок тогда

В итоге получаем, что точка F делит медиану CE как или в соотношении 5 : 1, начиная от точки C. Что и требовалось доказать.

б) Найдем высоту искомой пирамиды Медиану СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE:

Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK). Отрезок отрезок (так как это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC:

Площадь трапеции (основания пирамиды) равна

Объем пирамиды найдем по формуле

 

Ответ: б)



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ2
Ход ре­ше­ния верный, но по­лу­чен не­вер­ный ответ в ре­зуль­та­те вы­чис­ли­тель­ной ошибки,

ИЛИ

решение не закончено,

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обосновано

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл2


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 513095

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CL основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.


Решение

а) Отметим точку L — середину AB, O — основание высоты пирамиды, опущенной из вершины S (точка пересечения медиан треугольника ABC), K — точку пересечения SL и MN (очевидно, их общую середину) и — основание перпендикуляра из K на плоскость ABC. Поскольку и то — средняя линия треугольника SOL, поэтому

откуда Осталось заметить, что это и есть искомая точка пересечения прямой и плоскости.

б) Проведем через прямую, параллельную AB. Обозначим ее точки пересечения со сторонами AC и BC за и соответственно. Тогда — искомое сечение, причем поэтому это трапеция.

Ее основания равны и а высота

Значит

 

Ответ: 12.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ2
Ход ре­ше­ния верный, но по­лу­чен не­вер­ный ответ в ре­зуль­та­те вы­чис­ли­тель­ной ошибки,

ИЛИ

решение не закончено,

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обосновано

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл2


Пример 2.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 513096

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.


Решение

Сечение (плоскость α) проходит через точки M и N, причем MN — средняя линия. Это означает, что отрезок MN || AB следовательно, MN || (ABC). По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем PQ || MN. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO — высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2 : 1, то есть

Точка K является серединой отрезка MN, причем KZCE, откуда следует, что KZ || SO, следовательно, ZE = ZO. Так как то

Таким образом, получаем, что CZ : ZE = 5 : 1.

б) Найдем периметр трапеции MNPQ: P = MN + NQ + PQ + MP, где

Для вычисления сторон MP = NQ, найдем высоту

(величина SO = 2 находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOC, учитывая, что OC — радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и равен Длину отрезка NQ найдем из прямоугольного треугольника NHQ (смотри рисунок).

Катет NH = KZ = 1, а катет HQ равен

Получаем значение периметра

 

Ответ:



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ2
Ход ре­ше­ния верный, но по­лу­чен не­вер­ный ответ в ре­зуль­та­те вы­чис­ли­тель­ной ошибки,

ИЛИ

решение не закончено,

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обосновано

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл2


Пример 3.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 513097

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.


Решение

а) Заметим, что и поэтому значит,

б) Опустим из A перпендикуляр на SB. Он будет перпендикулярен также BC, поскольку Поэтому его длина и есть расстояние от A до SBC. Вычислим ее

 

Ответ:



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ2
Ход ре­ше­ния верный, но по­лу­чен не­вер­ный ответ в ре­зуль­та­те вы­чис­ли­тель­ной ошибки,

ИЛИ

решение не закончено,

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обосновано

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл2


Пример 4.

Оцените это решение в баллах:

Пример 6.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 513098

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.


Решение

а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны и Значения этих сторон удовлетворяют равенству следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SAAB.

Рассмотрим треугольник SAD со сторонами Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.

Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.

б) Проекция SC на плоскость SAB будет прямая SB. Таким образом, нужно найти угол между прямыми SC и SB (смотри рисунок), то есть угол φ = ∠CSB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла φ равен

 

Ответ: 30°.

 

Примечание.

Можно было бы найти косинусы углов DAS и BAS из треугольников DAS и BAS, применив по теорему косинусов. Оба косинуса равны нулю, из чего следует, что прямая SA перпендикулярна двух пересекающимся прямым DA и BA, лежащим в одной плоскости. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна плоскости основания, а ребро SA — высота пирамиды.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ2
Ход ре­ше­ния верный, но по­лу­чен не­вер­ный ответ в ре­зуль­та­те вы­чис­ли­тель­ной ошибки,

ИЛИ

решение не закончено,

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обосновано

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл2


Пример 5.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 515920

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.


Решение

В треугольнике SAB имеем: поэтому треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB и прямым углом SAB. Аналогично, из равенства получаем, что Так как прямая SA перпендикулярная прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости ABD.

б) На прямой AB отметим такую точку E, что BDCE — параллелограмм, тогда BE = DC = AB и DB = CE. Найдём угол SCE. По теореме Пифагора: и

По теореме косинусов:

Искомый угол равен

 

Ответ: б)



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
В ре­зуль­та­те ис­поль­зо­ва­ния вер­ных утвер­жде­ний и фор­мул по­лу­чен вер­ный ответ. Обос­но­ва­ние не со­дер­жит не­вер­ных утверждений.2
В ре­зуль­та­те ис­поль­зо­ва­ния вер­ных утвер­жде­ний и фор­мул за­да­ча до­ве­де­на до ответа, но по­лу­чен не­вер­ный ответ в ре­зуль­та­те до­пу­щен­ной вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки или описки. Обос­но­ва­ние не со­дер­жит не­вер­ных утверждений*

Все про­ме­жу­точ­ные вы­чис­ле­ния и по­лу­чен­ный ответ верны, но обос­но­ва­ние от­сут­ству­ет или со­дер­жит не­вер­ные утверждения.

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл2

 

*Критерии рас­про­стра­ня­ют­ся и на слу­чай ис­поль­зо­ва­ния ко­ор­ди­нат­но­го метода



Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:

Пример 3.

Оцените это решение в баллах:



Наверх
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»