СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Школа экспертов
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»

Ниже представлены ученические решения экзаменационных заданий. Оцените каждое из них в соответствии с критериями проверки заданий ЕГЭ. После нажатия кнопки «Проверить» вы узнаете правильный балл за каждое из решений. В конце будут подведены итоги.

Задание 505536
Задание 505537
Задание 507204
Задание 507510
Задание 509182
Задание 513103
Задание 513104
Задание 513105


Задание № 505536

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.


Решение

а) Пусть Из рисунка видно, что площадь шестиугольника равна сумме площадей Поскольку треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC c коэффициентом подобия его площадь Пусть K — точка пересечения медианы AA1 и средней линии B1C1. Медиана и средняя линия делят друг друга пополам, поскольку они являются диагоналями параллелограмма AB1A1C1. Откуда — медиана треугольника AB1C1. Заметим, что

то есть точка A2 делит медиану AK треугольника AB1C1 в отношении 2 : 1. Значит, это точка пересечения медиан треугольника AB1C1. Площадь треугольника B1C1A2 равна трети площади треугольника AB1C1, то есть равна Аналогично площади треугольников A1C1B2 и A1B1C2 равны Откуда площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 равна

 

б) Пусть длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC равны a, b, c. Докажем, что квадрат медианы AA1 равен Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

Аналогично а Пусть L — середина отрезка AB1. Поскольку A2 — точка пересечения медиан треугольника AB1C1, она лежит на отрезке C1L и делит его в отношении 2 : 1, считая от точки C1. Значит, Но треугольники AB1C1 и ABC подобны с коэффициентом 1/2, поэтому и Повторяя те же рассуждения для треугольника A1B1C получаем, что отрезок A1C2 равен Применяя аналогичные рассуждения, получим что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна:

Подставляя числовые значения получаем, что сумма квадратов шести сторон треугольника равна

 

Ответ: 21,5.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошибки.

2
Имеется вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом сам пункт а не выполнен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл3


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 505537

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.


Решение

Известно, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит,

Поэтому треугольники AB1B и CB1B равнобедренные, причём ∠B1AB = ∠ABB1 и ∠B1CB = ∠CBB1. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB1 + ∠CBB1 = 90°. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.

б) Треугольник A1BA прямоугольный. Поэтому

Аналогично из прямоугольного треугольника C1BC находим:

 

Ответ: 125.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошибки.

2
Имеется вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом сам пункт а не выполнен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл3


Пример 2.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 507204

Медианы АА1 и ВВ1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.


Решение

а) Площадь треугольника А1МВ2 в два раза меньше площади треугольника А1МВ, поскольку MB = 2MB2, а высота, проведённая из вершины А1 у этих треугольников общая:

Аналогично получаем еще 5 равенств:

Складывая эти равенства почленно, получаем

б) Обозначим длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC через а, b, с.

Докажем, что квадрат медианы AA1 равен

Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку А1 отложим отрезок А1Р = AA1. Получим параллелограмм АСРВ со сторонами АС = РВ = b и АВ = CP = с и диагоналями ВС = а и АР = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

Аналогично доказывается, что a Отрезок C1A2 — средняя линия треугольника АВМ, значит,

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна

 

Ответ:

 

 

----------

Дублирует задание 505536.



Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 507510

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.


Решение

а) Площадь треугольника A1MB2 в два раза меньше площади треугольника A1MB, поскольку MB = 2MB2, а высота, проведённая из вершины A1, у этих треугольников общая:

Аналогично получаем ещё 5 равенств:

и

Складывая эти равенства почленно, получаем

б) Обозначим длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC через a, b, c.

Докажем, формулу для квадрата медианы Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: откуда Аналогично доказывается, что а

Отрезок C1A2 — средняя линия треугольника ABM, значит,

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника

Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем

 

Ответ:



Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Имеется верное доказательство утверждения пункта а,

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Получен обоснованный ответ в пункте б,

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Максимальный балл3


Пример 2.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 509182

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Из точки H на стороны AB и BC отпустили перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 3, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 2.


Решение

а) В четырёхугольнике KBMH углы K и M — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём BH — её диаметр. Вписанные углы BKM и BHM опираются на одну дугу, следовательно,

BKM = ∠BHM = 90° − ∠HBM = ∠BCA.

Треугольники MBK и ABC имеют общий угол B, а ∠BKM = ∠BCA. Значит, эти треугольники подобны.

б) Заметим, что BH — диаметр окружности, описанной около треугольника MBK. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 2, значит, треугольники MBK и ABC подобны с коэффициентом подобия Получаем, что

Следовательно, искомое отношение равно

 

Ответ:

 

Примечание.

В авторской формулировке радиус окружности был равен 4. Однако если радиус описанной вокруг треугольника окружности больше высоты треугольника, то треугольник является тупоугольным. Числовые данные были выбраны авторами неверно: для остроугольного треугольника радиус окружности следует выбирать меньшим 3. Исправили условие.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Имеется вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б).3
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ в ре­зуль­та­те ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки (описки)

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б), но ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обоснованно, либо обос­но­ва­ния со­дер­жат неточности.

2
Имеется вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ в ре­зуль­та­те ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки (описки)

ИЛИ

обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт не вы­пол­нен или вы­пол­нен неверно

ИЛИ

получен вер­ный ответ в пунк­те б), но ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обоснованно, либо обос­но­ва­ния со­дер­жат неточности.

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0


Пример 3.

Оцените это решение в баллах:

Пример 4.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 513103

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.


Решение

а) Точки M и D лежат на окружностях с диаметрами BC и AB соответственно, поэтому

Прямые AD и MC перпендикулярны одной и той же прямой MD, следовательно, прямые AD и MC параллельны.

б) Пусть O — центр окружности с диаметром BC. Тогда прямые OM и AM перпендикулярны. Учитывая, что прямые BK и AM перпендикулярны, получаем, что прямые OM и BK параллельны. Обозначим BK через x. Треугольник AMO подобен треугольнику AKB с коэффициентом 5, поэтому OB = OM = 5x. Опустим перпендикуляр BP из точки B на прямую OM. Так как четырёхугольник BKMP — прямоугольник,

По теореме Пифагора OB2 = BP2 + OP2, откуда 25x2 = 144 + 16x2. Получаем, что x = 4.

Поскольку прямые AD и MC параллельны,

Значит, треугольники DBC и AMB равновелики. Следовательно,

 

Ответ: 30.



Критерии оце­ни­ва­ния выполнения заданияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл3


Пример 2.

Оцените это решение в баллах:

Пример 3.

Оцените это решение в баллах:

Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:

Пример 3.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 513104

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 14.


Решение

а) Точки M и D лежат на окружностях с диаметрами BC и AB соответственно, поэтому

Прямые AD и MC перпендикулярны одной и той же прямой MD, следовательно, прямые AD и MC параллельны.

б) Пусть O — центр окружности с диаметром BC. Тогда прямые OM и AM перпендикулярны. Учитывая, что прямые BK и AM перпендикулярны, получаем, что прямые OM и BK параллельны. Обозначим BK через x. Треугольник AMO подобен треугольнику AKB с коэффициентом , поэтому OB = OM = . Опустим перпендикуляр BP из точки B на прямую OM. Так как четырёхугольник BKMP — прямоугольник,

По теореме Пифагора OB2 = BP2 + OP2, откуда Получаем, что

Поскольку прямые AD и MC параллельны,

Значит, треугольники DBC и AMB равновелики. Следовательно,

 

Ответ:



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл3


Пример 4.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 513105

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 4 и MK = 12.


Решение

а) Точки M и D лежат на окружностях с диаметрами BC и AB соответственно, поэтому

Прямые AD и MC перпендикулярны одной и той же прямой MD, следовательно, прямые AD и MC параллельны.

б) Пусть O — центр окружности с диаметром BC. Тогда прямые OM и AM перпендикулярны. Учитывая, что прямые BK и AM перпендикулярны, получаем, что прямые OM и BK параллельны. Обозначим BK через x. Треугольник AMO подобен треугольнику AKB с коэффициентом 4, поэтому OB = OM = 4x. Опустим перпендикуляр BP из точки B на прямую OM. Так как четырёхугольник BKMP — прямоугольник,

По теореме Пифагора OB2 = BP2 + OP2, откуда 16x2 = 144 + 9x2. Получаем, что

Поскольку прямые AD и MC параллельны,

Значит, треугольники DBC и AMB равновелики. Следовательно,

 

Ответ:



Критерии оце­ни­ва­ния выполнения заданияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл3


Пример 5.

Оцените это решение в баллах:



Наверх
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»