≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Школа экспертов
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»

Ниже представлены ученические решения экзаменационных заданий. Оцените каждое из них в соответствии с критериями проверки заданий ЕГЭ. После нажатия кнопки «Проверить» вы узнаете правильный балл за каждое из решений. В конце будут подведены итоги.

Задание 509183
Задание 509184
Задание 513106
Задание 513107
Задание 513108
Задание 513109


Задание № 509183

1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?


Решение

Если бы банк не брал процентов, то долг можно было бы вернуть за 3 месяца. Проценты за второй и третий месяцы будут меньше процентов, начисленных в первый месяц то есть меньше 27 тыс. руб. Поэтому причитающиеся банку проценты, меньшие 68 тыс. руб., можно полностью выплатить в четвертый месяц, потратив меньше 300 тыс. руб.

 

Ответ: 4.

 

Приведём решение в общем виде.

Минимизировать время выплат можно, только максимизировав сами выплаты. Решим задачу в общем виде.

Пусть S — сумма (в тыс. руб.) кредита, Sn — задолженность в n-й месяц, s — максимальная ежемесячная выплата, sn — выплата в n-й месяц, S0 = S, q — коэффициент ежемесячного повышения, q > 1. Тогда

После предпоследней выплаты останется и тогда в последний, N-й раз, кредит будет погашен. Значит,

Относительно x = qN−1 получаем неравенство

По условию, S = 900, s = 300, q = 1,01, то есть

Так как 1,012 = 1,0201 < 1,0206..., 1,013 = 1,030301 > 1,0207..., имеем: N − 1 = 3, N = 4.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен пра­виль­ный ответ.3
Получено вер­ное вы­ра­же­ние для суммы платежа, но до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошибка, при­вед­шая к не­вер­но­му ответу.2
По­лу­че­но вы­ра­же­ние для еже­год­ной выплаты, но урав­не­ние не со­став­ле­но ИЛИ вер­ный ответ най­ден подбором.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл3


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 509184

Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме t2 Гбайт входящей в него информации выходит 20t Гбайт, а с сервера №2 при объёме t2 Гбайт входящей в него информации выходит 21t Гбайт обработанной информации, 25 < t < 55. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?


Решение

Пусть на сервере №1 обрабатывается а на сервере №2 обрабатывается Гбайт из всей первичной информации. Тогда а обработано будет Гбайт информации. Требуется найти максимум суммы при условии

Так как то для некоторого угла Так как то

для некоторого вспомогательного угла с Следовательно, наибольшее значение суммы Оно достигается при то есть для значений, удовлетворяющих условиям

 

Приведём другое решение.

 

Пусть на сервере №1 обрабатывается а на сервере №2 обрабатывается Гбайт из всей первичной информации. Тогда а обработано будет Гбайт информации. Выразим через Требуется найти наибольшее значение функции

Нетрудно заметить, что — точка максимума функции, при этом Условия выполнены. Значит,

 

Приведём третий вариант решения.

 

Пусть на сервере №1 обрабатывается а на сервере №2 обрабатывается Гбайт из всей первичной информации. Тогда а обработано будет Гбайт информации.

Так как то уравнение задает окружность радиуса с центром в начале координат. Заметим, что уравнение задает семейство параллельных прямых. Мы ищем наибольшее значение такое, что прямая имеет общие точки с окружностью. Из всех прямых семейства пересекающих окружность, наибольшее значение будет достигаться в случае касания.

Проведем из начала координат в первый координатный квадрант вектор перпендикулярный прямым Луч, коллинеарный вектору пересечёт окружность в точке Это и будет точка касания в которой достигается наибольшее значение Условия для точки выполнены. Значит,

 

Ответ: 1682.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен пра­виль­ный ответ.3
Получено вер­ное вы­ра­же­ние для суммы платежа, но до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошибка, при­вед­шая к не­вер­но­му ответу.2
По­лу­че­но вы­ра­же­ние для еже­год­ной выплаты, но урав­не­ние не со­став­ле­но ИЛИ вер­ный ответ най­ден подбором.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл3


Пример 3.

Оцените это решение в баллах:

Пример 4.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 513106

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

 

Дата15.0115.0215.0315.0415.0515.0615.07
Долг (в процентах от кредита)100%90%80%70%60%50%0%

 

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?


Решение

Не снижая общности рассуждений, примем начальную сумму кредита за 100 руб. и будем считать, что выплаты производились 10 числа каждого месяца. Составим таблицу выплат:

 

Дата14.0214.0314.0414.0514.0614.07
Долг, руб.10594,58473,56352,5
Выплата, руб.1514,51413,51352,5
Остаток долга на день выплаты, руб.90807060500
Остаток долга на день выплаты, %90%80%70%60%50%0%

 

Тем самым, полная сумма выплат равна 15 + 14,5 +14 +13,5 +13 + 52,5 = 122,5 руб., переплата составила 22,5%.

 

Ответ: 22,5.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен пра­виль­ный ответ.3
Получено вер­ное вы­ра­же­ние для суммы платежа, но до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошибка, при­вед­шая к не­вер­но­му ответу.2
По­лу­че­но вы­ра­же­ние для еже­год­ной выплаты, но урав­не­ние не со­став­ле­но ИЛИ вер­ный ответ най­ден подбором.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл3


Пример 3.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 513107

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?


Решение

Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

По условию, каждый январь долг возрастает на 25%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:

Получаем: откуда Значит, всего следует выплатить

(млн. рублей).

 

Ответ: 80,5.

 

Приведём другое решение.

 

По условию долг уменьшается по арифметической прогрессии:

Первая выплата равна

Вторая выплата равна

Третья выплата равна

Четвертая выплата равна и так далее.

Значит, наибольшая выплата — первая, d = 2, выплат — 14 штук и они составляют арифметическую прогрессию, но с разностью

Общая выплата равна

 

Ответ: 80,5.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен пра­виль­ный ответ.3
Получено вер­ное вы­ра­же­ние для суммы платежа, но до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошибка, при­вед­шая к не­вер­но­му ответу.2
По­лу­че­но вы­ра­же­ние для еже­год­ной выплаты, но урав­не­ние не со­став­ле­но ИЛИ вер­ный ответ най­ден подбором.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл3


Пример 4.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 513108

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 1,5 млн рублей?


Решение

Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

По условию, каждый январь долг возрастает на 10%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:

Получаем: откуда Значит, всего следует выплатить

(млн. рублей).

 

Приведём другое решение:

По условию долг уменьшается по арифметической прогрессии:

Первая выплата равна

Вторая выплата равна

Третья выплата равна

Четвертая выплата равна и так далее.

Значит, наибольшая выплата — первая, d = 0,6, то есь всего будет 15 выплат и они составляют арифметическую прогрессию с разностью

Общая выплата равна

 

Ответ: 16,2.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен пра­виль­ный ответ.3
Получено вер­ное вы­ра­же­ние для суммы платежа, но до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошибка, при­вед­шая к не­вер­но­му ответу.2
По­лу­че­но вы­ра­же­ние для еже­год­ной выплаты, но урав­не­ние не со­став­ле­но ИЛИ вер­ный ответ най­ден подбором.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл3


Пример 5.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 513109

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 17 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,4 млн рублей?


Решение

Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

По условию, каждый январь долг возрастает на 10%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:

Получаем: откуда Значит, всего следует выплатить

(млн. рублей).

 

Ответ: 26,35.

 

Приведём другое решение.

 

По условию долг уменьшается по арифметической прогрессии:

Первая выплата равна

Вторая выплата равна

Третья выплата равна

Четвертая выплата равна и так далее.

Значит, наибольшая выплата — первая, d = 1,7, выплат — 10 штук и они составляют арифметическую прогрессию, но с разностью

Общая выплата равна

 

Ответ: 26,35.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен пра­виль­ный ответ.3
Получено вер­ное вы­ра­же­ние для суммы платежа, но до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошибка, при­вед­шая к не­вер­но­му ответу.2
По­лу­че­но вы­ра­же­ние для еже­год­ной выплаты, но урав­не­ние не со­став­ле­но ИЛИ вер­ный ответ най­ден подбором.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл3


Пример 6.

Оцените это решение в баллах:

Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:

Пример 3.

Оцените это решение в баллах:



Наверх
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»