≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Школа экспертов
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»

Ниже представлены ученические решения экзаменационных заданий. Оцените каждое из них в соответствии с критериями проверки заданий ЕГЭ. После нажатия кнопки «Проверить» вы узнаете правильный балл за каждое из решений. В конце будут подведены итоги.

Задание 501989
Задание 505421
Задание 505539
Задание 505540
Задание 505541
Задание 509185
Задание 513112
Задание 515923


Задание № 501989

Задумано не­сколь­ко (не обя­за­тель­но различных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке неубывания. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, стираются. Например, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 4, 6, 8.

б) Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в) При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.


Решение

а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске.

 

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 – 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

 

в) Число 9 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит

целой части, то есть 5. Кроме того, числа 10 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 9, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 52 − 9 − 10 − 11 = 22. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 9, оставшиеся задуманные числа — это 11 и 11 или 22. Для задуманных чисел 9, 10, 11, 11, 11 и 9, 10, 11, 22 на доске будет записан набор, данный в условии.

 

Ответ: а) 2, 2, 2, 2: б) нет: в) 9, 10, 11, 11, 11 или 9, 10, 11, 22.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Верно выполнены: а), б), впример), воценка) 4
Верно вы­пол­не­ны три пунк­та из четырех: а), б), впример), воценка) 3
Верно вы­пол­не­ны два пунк­та из четырех: а), б), впример), воценка) 2
Верно вы­пол­не­ны один пункт из четырех: а), б), впример), воценка) 1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:

Пример 3.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 505421

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.


Решение

Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через A, а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе через B.

а) Заметим, что где и — некоторые натуральные числа. Значит,

Если то что невозможно. Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам не может равняться

б) Например, для оценок экспертов 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равна

в) Пусть — наименьшая из оценок, — наибольшая, а — сумма остальных пяти оценок. Тогда

 

Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10 разность равна Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равно

 

Ответ: а) нет; б) да; в)



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) результаты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щий результатов:

— обос­но­ван­ное ре­ше­ние в п. а;

— при­мер в п. б;

— ис­ко­мая оцен­ка в п. в;

— при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оценки.

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл4


Пример 5.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 505539

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?


Решение

а) Если последовательность состоит из двух членов, и (в произвольном порядке), то Уравнение не имеет решений в натуральных числах. Поэтому последовательность не может состоять из двух членов.

б) Последовательность может состоять из трёх членов: 252, 2520, 252.

в) Приведём пример последовательности из 549 членов: Сумма её членов равна

Допустим, что в последовательности более чем 549 членов. Разобьём первые 550 членов последовательности на 275 пар соседних членов: первый и второй, третий и четвёртый, пятый и шестой и т. д. Сумма двух членов в каждой паре делится на 11 и поэтому не меньше 11. Значит, сумма всех членов последовательности не меньше, чем Получили противоречие.

 

Ответ: а) нет, б) да, в) 549.



Критерии оце­ни­ва­ния выполнения заданияБаллы
Верно выполнены: а, б, в(пример), в(оценка).4
Верно вы­пол­не­ны три пунк­та из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).3
Верно вы­пол­не­ны два пунк­та из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).2
Верно вы­пол­нен один пункт из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:

Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:

Пример 3.

Оцените это решение в баллах:

Пример 4.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 505540

На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?


Решение

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 9, поэтому  — количество целых чисел — делится на 9. По условию , поэтому

Таким образом, написано 36 чисел.

 

б) Приведём равенство к виду

Так как , получаем, что , откуда Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

 

в) (оценка) Подставим в правую часть равенства

,

откуда

Так как , получаем:

, , , ;

то есть положительных чисел не более 16.

 

в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз написано число 9, 18 раз написано число −18 и два раза написан 0.

Тогда

указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

 

Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Верно выполнены: а, б, в(пример), в(оценка).4
Верно вы­пол­не­ны три пунк­та из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).3
Верно вы­пол­не­ны два пунк­та из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).2
Верно вы­пол­нен один пункт из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 505541

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

 

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?


Решение

а) Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.

 

б) Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 4 мальчиков, поскольку если бы их было 5 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше , что больше Аналогично, кино посетило не более 6 мальчиков, поскольку но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

 

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 10.

 

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

 

Пусть в группе мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

Из условия:

значит, Тогда , поэтому доля девочек в группе:

Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна

 

Ответ: а) да: б) 10; в)



Критерии оце­ни­ва­ния выполнения заданияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) результаты4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих результатов:

— Обос­но­ван­ное решение п. а;

— обос­но­ван­ное решение п. б;

— ис­ко­мая оценка в п. в;

— при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точность преды­ду­щей оценки

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 509185

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться

б) Может ли эта разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.


Решение

Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через A, а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе оценивания, через B.

а) Заметим, что где m и n — некоторые натуральные числа.

Значит, Если то что невозможно.

Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, не может равняться

б) Например, для оценок экспертов 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равна

в) Пусть x — наименьшая из оценок, z — наибольшая, а y — сумма остальных пяти оценок. Тогда

Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10 разность A − B равна . Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равно

 

Ответ: а) нет; б) да; в)



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) результаты4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих результатов:

— обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. а;

— при­мер в п. б;

— ис­ко­мая оцен­ка в п. в;

— при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оценки

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл4


Пример 5.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 513112

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 1 до 15 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться —

б) Может ли эта разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться —

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.


Решение

Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через A, а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе оценивания, через B.

а) Заметим, что где m и n — некоторые натуральные числа.

Значит, Если то что невозможно.

Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, не может равняться

б) Например, для оценок экспертов 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равна

в) Пусть x — наименьшая из оценок, z — наибольшая, а y — сумма остальных пяти оценок. Тогда

Для оценок экспертов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 15 разность A − B равна . Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равно

 

Ответ: а) нет; б) да; в)



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) результаты4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих результатов:

— обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. а;

— при­мер в п. б;

— ис­ко­мая оцен­ка в п. в;

— при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оценки

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 3.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 515923

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого

в 14 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 210 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 49 раз больше суммы цифр этого числа.


Решение

а) Произведение цифр числа 6723 равно 252, а сумма цифр равна 18, то есть в 14 раз меньше.

б) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе

их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 210(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 35, поэтому среди цифр найдётся цифра 5 и цифра 7. Так как при перестановке местами цифр числа n равенство abcd = 175(a + b + c + d) остаётся верным, то без ограничения общности можно считать, что в числе n цифры c и d равны 5 и 7 соответственно.

Тогда Получаем противоречие.

в) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 49(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 49, поэтому среди цифр найдутся две цифры 7. Без ограничения общности будем считать, что c = d = 7.

Тогда ab = a + b + 14. Пусть a и b нечётные. Так как произведение двух нечётных чисел нечётно, а их сумма чётна, получаем: правая часть равенства чётна (сумма чётных чисел чётна), а левая — нечётна. Противоречие. Тогда хотябы одно из чисел кратно 2. Будем считать, что на 2 делиться b.

Если b = 2, то 2a = a + 16, что невозможно. Если b = 4, то 4a = a + 18; a = 6.

Если b = 8, то 8a = a + 22; что невозможно. Число n = 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если b = 6, то 6a = a + 20; a = 4. Этот вариант также получается из предпоследнего перестановкой цифр.

 

Ответ: а) например, 6723; б) нет; в) Число 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) результаты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щий результатов:

— обос­но­ван­ное ре­ше­ние в п. а;

— при­мер в п. б;

— ис­ко­мая оцен­ка в п. в;

— при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оценки.

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:

Пример 3.

Оцените это решение в баллах:



Наверх
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»