Ре­ше­ние. Пусть CH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка, r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной тре­уголь­ник ABC, Q  — центр этой окруж­но­сти. Так как, то Сле­до­ва­тель­но, по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен а его пло­щадь от­ку­да

Пусть Тогда

Пусть окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, при­чем пря­мой AB  — в точке M , и не имеет общих точек с бо­ко­вой сто­ро­ной BC (рис. 1). Не­труд­но по­нять, что ра­ди­ус этой окруж­но­сти равен 3.

Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му AO  — бис­сек­три­са угла Тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OAQ на­хо­дим, что

Пусть те­перь окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой cто­ро­ны AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, при­чем пря­мой AB  — в точке M, и пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну BC(рис. 2).

Тогда точки O и Q лежат на бис­сек­три­се угла Тре­уголь­ник AOM по­до­бен тре­уголь­ни­ку AQHс ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: или