№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задания Д12 C4 № 505757

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отложены соответственно отрезки AD= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 AB, BE= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 BC, CF= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 CA.

а) Докажите, что S_{AMC}=S_{ANB}=S_{BKC}, где M=AE \cap CD,K=CD\cap BF,N=AE\cap BF.

б) Найдите, какую часть от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника MNK.

Решение.

а) Напишем теорему Менелая для треугольника ABF и прямой MKC. Получим

 дробь, числитель — AD, знаменатель — DB умножить на дробь, числитель — BK, знаменатель — KF умножить на дробь, числитель — FC, знаменатель — CA =1 равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — BK, знаменатель — KF умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 =1 равносильно дробь, числитель — BK, знаменатель — KF =6.

Тогда

S_{BKC}= дробь, числитель — 6, знаменатель — 7 S_{BFC}= дробь, числитель — 6, знаменатель — 7 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 S_{ABC}= дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 S_{ABC}.

Аналогично площади остальных треугольников равны  дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 S_{ABC}.

б) Заметим, что

S_{MNK}=S_{ABC} минус S_{BKC} минус S_{AMC} минус S_{ANB}= левая круглая скобка 1 минус 3 умножить на дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 } правая круглая скобка S_{ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 S_{ABC}.

Ответ:  дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 .