№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задания Д5 C1 № 505960

а) Решите уравнение  косинус 3x плюс синус x умножить на синус 2x=2{{ косинус } в степени 3 }x плюс 2 тангенс x;

б) Найдите все корни на промежутке  левая квадратная скобка минус Пи ; дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

а) Ограничения на x:  косинус x не равно 0 или  x не равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z . Для таких x с учетом формулы косинуса тройного аргумента ( косинус 3x={{ косинус } в степени 3 }x минус 3{{ синус } в степени 2 }x умножить на косинус x) будем иметь:

 косинус 3x плюс синус x умножить на синус 2x=2{{ косинус } в степени 3 }x плюс 2 тангенс x равносильно {{ косинус } в степени 3 }x минус 3{{ синус } в степени 2 }x умножить на косинус x плюс 2{{ синус } в степени 2 }x умножить на косинус x минус 2{{ косинус } в степени 3 }x минус дробь, числитель — 2 синус x, знаменатель — косинус x =0 равносильно

 

 равносильно минус {{ косинус } в степени 4 }x минус {{ синус } в степени 2 }x умножить на {{ косинус } в степени 2 }x минус 2 синус x=0 равносильно {{ косинус } в степени 2 }x({{ косинус } в степени 2 }x плюс {{ синус } в степени 2 }x) плюс 2 синус x=0 равносильно

 

 равносильно 1 минус {{ синус } в степени 2 }x плюс 2 синус x=0 равносильно {{ синус } в степени 2 }x минус 2 синус x минус 1=0 равносильно синус x=1\pm корень из { 1 плюс 1}.

 синус x=1 плюс корень из { 2} (уравнение решений не имеет из-за ограниченности синуса).

 синус x=1 минус корень из { 2}; x={{( минус 1)} в степени n плюс 1 }\arcsin ( корень из { 2} минус 1) плюс Пи n,n принадлежит Z .

б) Отбор корней произведем с использованием графика функции y= синус x.

 

 

Заметим, что:

{{x}_{1}}= минус Пи плюс \arcsin левая круглая скобка корень из { 2} минус 1 правая круглая скобка ,{{x}_{2}}=0 минус \arcsin левая круглая скобка корень из { 2} минус 1 правая круглая скобка = минус \arcsin левая круглая скобка корень из { 2} минус 1 правая круглая скобка ,{{x}_{3}}= Пи плюс \arcsin левая круглая скобка корень из { 2} минус 1 правая круглая скобка .

 

Ответ: а)  {{( минус 1)} в степени n плюс 1 }\arcsin ( корень из { 2} минус 1) плюс Пи n, принадлежит Z . б)  минус Пи плюс \arcsin ( корень из { 2} минус 1), минус \arcsin ( корень из { 2} минус 1), Пи плюс \arcsin ( корень из { 2} минус 1).