№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задания Д14 C6 № 505964

Найти все значения a, при которых неравенство

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 |a минус 2| умножить на |x плюс a минус 4| плюс левая круглая скобка дробь, числитель — a в степени 2 минус 4a плюс 3, знаменатель — |a минус 2| минус |a минус 2| правая круглая скобка умножить на |x минус 2| плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 |a минус 2| умножить на |x минус a|\le1

выполняется ровно для двух различных значений x.

Решение.

Сделаем замену a минус 2=b, x минус 2=t (это не повлияет на число решений). Получим

0.5|b||b плюс t| минус дробь, числитель — |t|, знаменатель — |b| плюс 0.5|b||b минус t| меньше или равно 1.

Очевидно, график правой части представляет собой бесконечную ломаную из не более чем четырех звеньев (есть три точки, где возможно функция резко меняет поведение — b, минус b,0, причем 0 — средняя точка), поэтому ровно два решения может быть только если крайние точки смены поведения дают значение 1, а остальные — больше 1.

 

Подставим t=b, получим b в степени 2 =2, b=\pm корень из { 2}, a=2\pm корень из { 2}. Докажем, что такие значения a действительно подходят. Подставляя их в неравенство, получим

 дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 (|t плюс корень из { 2|} плюс |t минус корень из { 2|} минус |t|) меньше или равно 1.

При t больше корень из { 2} неравенство сведется к t меньше или равно корень из { 2} — нет решений.

При t меньше минус корень из { 2} неравенство сведется к t больше или равно минус корень из { 2} — нет решений.

При  минус корень из { 2} меньше или равно t меньше или равно корень из { 2} неравенство сведется к 2 корень из { 2} минус |t| меньше или равно корень из { 2} — решения только t=\pm корень из { 2}.

 

Ответ: a=2\pm корень из { 2}.