PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC.
а) Докажите, что прямые AS и BD перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 4, SC = 7.
Решение. а) Пусть SO − высота пирамиды. Заметим, что проекцией прямой AS на плоскость ABCD является прямая AO. Но
так как диагонали квадрата перпендикулярны. Поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, 
б) Проведём из точки B перпендикуляр BQ к 
— середина 
Точка Q является серединой высоты 
Прямая MK параллельна прямой пересечения плоскостей, 
Следовательно, 
— линейный угол искомого угла. Найдём 
Значит, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |