РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 507698 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций, Формулы двойного угла

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $ctgx плюс косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2x правая круглая скобка =0.$

б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение

$ctgx минус синус 2x=0 равносильно дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби минус 2 синус x косинус x=0 равносильно косинус x левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 2 синус x правая круглая скобка =0.$ $ctgx минус синус 2x=0 равносильно дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби минус 2 синус x косинус x=0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 2 синус x правая круглая скобка =0.$

Если $косинус x=0,$ то $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

Если $косинус x не равно 0,$ то

$дробь: числитель: 1 минус 2 синус в квадрате x, знаменатель: синус x конец дроби =0 равносильно синус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z .$

б)  Отметим решения на единичной окружности.

Отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка$ принадлежат корни $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ и $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507698

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций, Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507698	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$