РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д18 C7 № 507744 Добавить в вариант

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Натуральные числа $a,b,c$ образуют возрастающую арифметическую прогрессию, причём все они больше 500 и являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное, при указанных условиях, значение $b.$

Решение. Пусть $корень из: начало аргумента: a конец аргумента =a', корень из: начало аргумента: b конец аргумента =b', корень из: начало аргумента: c конец аргумента =c';a' меньше b' меньше c'.$ Тогда $a' больше или равно 23;b'=a' плюс t,t принадлежит N .$ Тогда

$2a' в квадрате плюс 4a't плюс 2t в квадрате =a' в квадрате плюс c' в квадрате равносильно левая круглая скобка a' плюс 2t плюс c' правая круглая скобка левая круглая скобка a' плюс 2t минус c' правая круглая скобка =2t в квадрате .$

Положим $p=a' плюс 2t плюс c';q=a' плюс 2t минус c';p минус q=2c'.$ Значит, числа $p,q$   — одной чётности, а так как $pq=2t в квадрате ,$ получаем:

$p=2n,q=2m левая круглая скобка n,m принадлежит N правая круглая скобка \Rightarrow t=2\nu левая круглая скобка \nu принадлежит Z правая круглая скобка .$

Значит,

$система выражений новая строка a' плюс 2t= левая круглая скобка p плюс q правая круглая скобка /2=n плюс m, новая строка c'= левая круглая скобка p минус q правая круглая скобка /2=n минус m, новая строка nm=2\nu в квадрате конец системы равносильно система выражений новая строка a'=n плюс m минус 4\nu больше или равно 23, новая строка c'=n минус m больше или равно 25, новая строка nm=2\nu в квадрате . конец системы$

При этих условиях необходимо найти наименьшее значение $b'=n плюс m минус 2\nu.$ Так как $n больше или равно 26,m больше или равно 1,$ находим, что $2\nu в квадрате =nm больше или равно 26,$ откуда $\nu\geqslant4.$

Далее перебираем случаи:

1)   $\nu=4 \Rightarrow система выражений новая строка nm=32,n плюс m больше или равно 39, новая строка n минус m больше или равно 25,n больше или равно 26,m больше или равно 1 конец системы решенийнет;$

2)   $\nu=5 \Rightarrow система выражений новая строка nm=50,n плюс m больше или равно 43, новая строка n минус m\geqslant25,n больше или равно 26,m больше или равно 1 конец системы \Rightarrow n=50,m=1,b'=41;$

3)   $\nu=6 \Rightarrow система выражений новая строка nm=72,n плюс m больше или равно 47, новая строка n минус m\geqslant25,n больше или равно 26,m больше или равно 1 конец системы \Rightarrow n=72,m=1,b'=61;$

4)   $\nu=7 \Rightarrow система выражений новая строка nm=98,n плюс m больше или равно 51, новая строка n минус m\geqslant25,n больше или равно 26,m больше или равно 1 конец системы \Rightarrow b'=37илиb'=85;$

5)   $\nu больше или равно 8 \Rightarrow b' больше или равно 23 плюс 2\nu больше или равно 23 плюс 16=39.$

Значит, наименьшее значение b равно $37 в квадрате =1369,$ при этом $a=23 в квадрате ,c=47 в квадрате .$

Ответ: 1369.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обосновано получен верный ответ.	4
Имеется вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но правильно организован перебор.	3
Ответ, возможно, неверен однако правильно обозначен перебор с использованием геометрических или аналитических соображений.	2
Решения ищутся прямым перебор с ошибками. Ответ отсутствует или неверен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: 1369.

507744

1369.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507744	1369.