№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задания Д14 C6 № 508200

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение a\left| x минус 1 |=x плюс 2 имеет ровно один корень. Укажите этот корень для каждого такого значения а.

Решение.

1. Пусть x меньше 1, тогда \left| x минус 1 |=1 минус x. Будем иметь: a минус ax=x плюс 2 равносильно x плюс ax=a минус 2 равносильно x(1 плюс a)=a минус 2.

Если a= минус 1, то x умножить на 0=a минус 2 равносильно a минус 2=0, что невозможно, решений нет. Если же a не равно минус 1, то x= дробь, числитель — a минус 2, знаменатель — a плюс 1 .

Поскольку нас интересуют значения х, удовлетворяющие неравенству x меньше 1, решим неравенство  дробь, числитель — a минус 2, знаменатель — a плюс 1 меньше 1.

 дробь, числитель — a минус 2, знаменатель — a плюс 1 минус 1 меньше 0 равносильно дробь, числитель — a минус 2 минус a минус 1, знаменатель — a плюс 1 меньше 0 равносильно дробь, числитель — 3, знаменатель — a плюс 1 больше 0 равносильно a больше минус 1.

2. Пусть x больше или равно 1, тогда \left| x минус 1 |=x минус 1. Далее: ax минус a=x плюс 2 равносильно ax минус x=a плюс 2 равносильно x(a минус 1)=a плюс 2. Если a=1, то x умножить на 0=a минус 2 равносильно a плюс 2=0, что также невозможно, решений нет. Если a не равно 1, то x= дробь, числитель — a плюс 2, знаменатель — a минус 1 . Решим неравенство  дробь, числитель — a плюс 2, знаменатель — a минус 1 больше или равно 1.

 дробь, числитель — a плюс 2, знаменатель — a минус 1 минус 1 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — a плюс 2 минус a плюс 1, знаменатель — a минус 1 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — 3, знаменатель — a минус 1 больше 0 равносильно a больше 1.

Таким образом, исходное уравнение при a меньше или равно минус 1 корней не имеет, при  минус 1 меньше a меньше или равно 1 будет иметь ровно один корень, равный  дробь, числитель — a минус 2, знаменатель — a плюс 1 , при a больше 1 — более одного корня.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус 1;1 правая квадратная скобка , \left\{ дробь, числитель — a минус 2, знаменатель — a плюс 1 \}.