Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 510233

Решите неравенство

 дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс 4, знаменатель: (x плюс 1) в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: x в квадрате плюс 6x плюс 9, знаменатель: (x минус 1) в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: (2x в квадрате плюс x плюс 5) в квадрате , знаменатель: 2(x в квадрате минус 1) в квадрате конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену: a= дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,b= дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби . Тогда

a плюс b= дробь: числитель: (x минус 1)(x минус 2) плюс (x плюс 1)(x плюс 3), знаменатель: (x плюс 1)(x минус 1) конец дроби = дробь: числитель: 2x в квадрате плюс x плюс 5, знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби .

Неравенство принимает вид: a в квадрате плюс b в квадрате меньше или равно дробь: числитель: (a плюс b) в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби , откуда

a в квадрате плюс b в квадрате минус 2ab меньше или равно 0 равносильно (a минус b) в квадрате меньше или равно 0.

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда a=b. Получаем:

 дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби равносильно x в квадрате минус 3x плюс 2 = x в квадрате плюс 4x плюс 3 равносильно x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

 

Ответ:  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

 

Примечание.

Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к  левая круглая скобка дробь: числитель: 7x плюс 1, знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0, откуда также получается ответ x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 507658: 507661 510233 Все

Классификатор алгебры: Рациональные неравенства