Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 510559

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

\left||x в степени 2 минус 6x плюс 5| минус x в степени 2 плюс 6x минус 13| меньше a минус a в степени 2 минус (x минус 2) в степени 2 плюс 2x минус 4

имеет единственное целое решение.

Спрятать решение

Решение.

Пусть x в степени 2 минус 6x плюс 5=y, тогда y\geqslant минус 4, при этом, если x — целое, то y — также целое число.

Неравенство имеет вид ||y| минус y минус 8| плюс y меньше минус a в степени 2 плюс a минус 3. Построим график функции f(y)=||y| минус y минус 8| плюс y при y\geqslant минус 4, находим, что эта функция монотонно возрастает. Следовательно, если y_0 является решением неравенства при некотором a, то все y меньше y_0 также являются решениями.

Значит, если есть решение y_0\geqslant минус 3, то целые числа −4 и −3 также будут решениями, и тогда будет, по крайней мере, три решения данного неравенства: x=2,3,4. Следовательно,  минус 4\leqslant y меньше минус 3, и, стало быть,  минус 4\leqslant f(y) меньше минус 1. Значит, должно выполняться двойное неравенство:  минус 4 меньше минус a в степени 2 плюс a минус 3\leqslant минус 1, откуда

 система выражений  новая строка a в степени 2 минус a минус 1 меньше 0, новая строка a в степени 2 минус a плюс 2\geqslant 0. конец системы

Решение первого неравенства:  дробь: числитель: 1 минус корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 1 плюс корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби . Второе неравенство выполняется при всех a.

 

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 1 минус корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1 плюс корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

 

-------------------------------------------

Дублирует задание 507624

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (напрмер, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки.3
Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных ответов потеряна.2
Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Екатерина Журавлева 29.10.2018 15:12

При целом у х не обязательно будет целым.

Александр Иванов

Вы правы. Поэтому в решении делается проверка, которая показывает что при y= минус 4 x=3, а при y= минус 3 x=2 или x=4