РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 510648 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента, Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $синус x плюс синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Перенесем $синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби$ в правую часть и применим формулу для косинуса двойного угла:

$синус x= косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ; синус x = косинус x.$

Если $косинус x =0,$ то из уравнения следует, что $синус x=0,$ что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому $косинус x$ отличен от 0, и на него можно поделить обе части уравнения:

$тангенс x =1 равносильно x= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4 плюс Пи k, k принадлежит Z .$

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 правая квадратная скобка :$ $x= минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ $x= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4 плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

510648

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4 плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510648	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 4 плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$