В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 2.
Решение. 
а) Пусть Р — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AB, тогда DH = DP.
В равнобедренном треугольнике EAD угол AED равен 30°.
В прямоугольном треугольнике 
откуда получаем, что FH = 2DH.
б) Пусть AM — высота треугольника ABC — пересекает ED в точке N. Тогда
Пусть DH = EF = x, тогда FH = ED = 2x. Треугольники ABC и AED подобны, следовательно
Значит, площадь прямоугольника DEFH равна
Ответ: 
----------
Дублирует задание 505249.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: Источник: ЕГЭ по математике 08.05.2014. Досрочная волна, резервная волна. Вариант 2, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2014
