№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задание 16 № 511381

Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.

а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.

б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.

Решение.

а) Прямые AE и CD параллельны, a DE — биссектриса угла ADC, поэтому ∠AED = ∠CDE = ∠ADE. Значит, треугольник ADE равнобедренный, AD = АЕ. Отрезки АK и AT касательных, проведённых к окружности из точки A, равны, значит, треугольник ATK также равнобедренный, причём угол при вершине A у этих треугольников общий. Поэтому ∠ATK = ∠ADE. Следовательно, KT || DE.

б) Пусть окружность касается основания DE равнобедренного треугольника ADE в точке М. Тогда M — середина DE. Обозначим DM = x. Тогда DT = DM = x, AT = ADDT = 8 − x. Треугольник ATK подобен треугольнику ADE, поэтому или Отсюда находим, что x = 4. Тогда DE = 2х = 8, значит, треугольник ADE равносторонний. Следовательно, ∠BAD = ∠EAD = 60°.

 

Ответ: 60°.