Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 511384

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Спрятать решение

Решение.

Пусть MH — высота правильной четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной M, тогда треугольник AMH — прямоугольный, MA=10,MH = 6, откуда

AH= корень из (MA в квадрате минус MH в квадрате ) =8.

Треугольник ABH — прямоугольный равнобедренный, следовательно, AB=AH корень из (2) =8 корень из (2) . В треугольнике AMB высота MN= корень из (MA в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ) = корень из 6 8.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABH высота HN= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби =4 корень из (2) .

Центр O сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому

MO:OK=MN:HN равносильно дробь: числитель: 6 минус r, знаменатель: r конец дроби = дробь: числитель: корень из 6 8, знаменатель: 4 корень из (2) конец дроби равносильно (6 минус r) умножить на 4 корень из (2) = корень из 6 8 умножить на r равносильно r= дробь: числитель: 12 корень из (2) , знаменатель: 2 корень из 2 плюс корень из 1 7 конец дроби ,

где r — радиус сферы.

Площадь сферы S=4 Пи r в квадрате = дробь: числитель: 1152 Пи , знаменатель: 25 плюс 4 корень из 3 4 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 1152 Пи , знаменатель: 25 плюс 4 корень из 3 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 502023: 502054 503321 503361 511368 511384 Все