РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 511475 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $\ctg x минус 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2x правая круглая скобка =0.$

а)  Решите уравнение;

б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем левую часть уравнения:

$\ctg x минус 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2x правая круглая скобка =0 равносильно дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби минус 2 синус 2x=0 равносильно косинус x левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 4 синус x правая круглая скобка =0 равносильно$ $\ctg x минус 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2x правая круглая скобка =0 равносильно дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби минус 2 синус 2x=0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби минус 4 синус x правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$

б)  Отметим решения на единичной окружности. Отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ принадлежат корни $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k| k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511475

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k| k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511475	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k\| k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$