PDF-версии: 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 1 : 2, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 5, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 4, AD = 2, AA1 = 6.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
Решение. а) В плоскости AA1D1 проведём через точку E прямую, параллельную TF. Пусть она пересекает ребро A1D1 или его продолжение в точке G. Плоскость EFT проходит через точку G. Треугольник EGA1 подобен равнобедренному треугольнику FTB1, в котором FB1 = B1T = 1. Отсюда EA1 = A1G = 2, значит, точка G совпадает с точкой D1.
б) В плоскости BB1C1 из точки B1 опустим перпендикуляр B1K на отрезок FT. В плоскости EFT через точку K проведём перпендикуляр к FT, который пересекает ED1 в точке L. Тогда ∠B1KL — угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1 или смежный с ним. Из равнобедренного треугольника FB1T
находим
Из равнобедренной трапеции EFTD1 находим
Точка L — середина отрезка ED1, поэтому она удалена от сторон AA1 и AD1 параллелепипеда на 1. Значит, B1L является диагональю параллелепипеда со сторонами 1, 1 и 4. Отсюда 
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |