Решение. Заметим, что треугольник тупоугольный тогда и только тогда, когда сумма квадратов длин его меньших сторон меньше квадрата большей стороны.

а)  Да, например, в треугольнике со сторонами 13, 7, 8 выполнено и

б)  Нет. Пусть большая сторона равна 8x, а меньшая 7x. Тогда средняя не меньше 7x, но

в)  Пусть меньшая сторона равна a, а большая равна c. Тогда и нужно минимизировать Рассмотрим любую подходящую пару чисел и увеличим оба числа на единицу. Тогда по-прежнему (к правой части прибавили а к левой ), (к обеим частям прибавили поровну), а отношение уменьшилось (было стало ). Поэтому можно увеличивать a, пока оно не станет равно 24.

Теперь будем просто уменьшать c пока это возможно, то есть пока Наименьшее такое c это 35. Поэтому ответ

Ответ: а) да; б) нет; в)

Комментарий Сергея Николаева.

Укажем, как получить оценку из п. в) геометрически. Пусть меньшая сторона равна a, большая равна c, а С  — угол, противолежащий стороне длины с. Из теоремы косинусов следует, что Из полученного соотношения видно, что для любого угла C (при фиксированной величине c) отношение c/a минимально при максимальном возможном a, то есть при a  =  24. Далее, так же, как в приведенном выше решении, получаем, что при любом фиксированном значении угла C искомое отношение минимально при c  =  35, а значит, не зависит от угла C.