PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно 
На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = B1L = 3. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Решение. а) Отметим точки
и 
на ребрах 
и CB соответственно так чтобы 
Тогда плоскость 
это плоскость 
Очевидно 
поскольку проекция BM на плоскость ABC — высота треугольника 
Она перпендикулярна AC, а значит и 
По теореме о трех перпендикулярах 
Рассмотрим теперь проекцию 
точки M на плоскость 
Поскольку проекция 
на эту плоскость — середина ребра 
то 
Докажем теперь, что прямая 
перпендикулярна 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется что 
а тогда и 
Обозначим за O точку пересечения отрезков и 
за 
— проекцию точки на прямую 
Тогда
Итак, тангенсы этих углов обратны друг другу, поэтому углы в сумме дают
и 
что и требовалось доказать.
б) Пусть T — середина 
Тогда 
поскольку 
Соединим середины 
и 
(точки 
и 
). Опустим из T перпендикуляр на прямую 
— это и будет искомое расстояние. В самом деле, все эти точки лежат в плоскости 
перпендикулярной к 
поэтому и описанный выше перпендикуляр тоже перпендикулярен Рассмотрим прямоугольную трапецию 
В ней 
поскольку отрезки и делят высоты оснований призмы в отношениях 3 : 1 и 1 : 3 считая от вершины соответственно, а высоты равны 
Наконец,
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |