PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три различных решения.
Решение. Запишем первое уравнение в виде
При 
левая часть уравнения не имеет смысла.
При 
уравнение задаёт прямые 
и гиперболу 
(изображены синим).
При каждом значении a уравнение 
задаёт прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.
Прямые m проходят через точки пересечения прямых и гиперболы при 
и 
При 
прямые m пересекают прямую 
при любом нулевом значении a, прямую при любом нулевом значении a, пересекает правую ветвь гиперболы при 
пересекают левую ветвь гиперболы при 
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямых и гиперболы с прямой m при условии 
Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
C помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличащееся от искомого только исключением точки  | 3 |
C помощью верного рассуждения получен промежуток  множества значений a, возможно, с включением граничной точки | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл: | 4 |