РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Заданы три бесконечных целочисленных возрастающих арифметических прогрессий, разность которых 3, 5 и 7, каждая из которых содержит хотя бы одно отрицательное число. Натуральное число «n» назовем хорошим, если оно принадлежит всем прогрессиям.

а)  Доказать, что существует хотя бы одно хорошее число.

б)  Можно ли утверждать, что для любых прогрессий существует хорошее число на отрезке [100; 200]?

в)  Можно ли утверждать, что для любых прогрессий существует хорошее число на отрезке [200; 400]?

Решение. Эта задача представляет собой частный случай китайской теоремы об остатках. В каждой прогрессии числа дают один и тот же остаток от деления на $3,$ $5$ или $7.$ И все числа с данным остатком лежат в этой прогрессии (она начинается с отрицательных чисел, поэтому не может пропустить первые несколько. Рассмотрим остатки от деления числа на $105.$ Ясно, что зная этот остаток, можно узнать остатки от деления на $3,$ $5$ и $7.$

Докажем, что двум разным остаткам не может соответствовать одинаковый набор остатков от деления на 3, 5, 7. В самом деле, если это так  — вычтем такие числа друг из друга. Полученное число кратно 3, 5, 7, а Значит, кратно и $105.$ Поэтому исходные остатки от деления на $105$ тоже были одинаковы.

Всего есть $105$ остатков от деления на $105.$ И есть $3 умножить на 5 умножить на 7$ наборов остатков от деления на 3, 5, 7  — при делении на каждое k есть k возможных остатков. Как мы знаем, каждому остатку от деления на $105$ соответствует свой набор остатков от деления на 3, 5, 7. Поскольку этих наборов как раз $105$ и повторений нет  — каждый набор чему-то соответствует.

а)  Возьмем число с таким остатком от деления на $105,$ которому соответствует наш набор. Это число будет во всех прогрессиях.

б)  Нет. Потребуем, чтобы число давало от деления на 3, 5, 7 остатки, соответственно, 0, 4, 1. Этот набор соответствует числу $99,$ поэтому подходящими числами будут $99,204,\ldots.$

в)  Да, среди $201$ натурального числа подряд обязательно встретятся все $105$ остатков от деления на $105.$

Ответ: б) Нет; в) Да.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521216	б) Нет; в) Да.

Ключ