РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 521219 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 190

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство:

$левая круглая скобка корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 25, знаменатель: 4 конец дроби Пи в квадрате минус x в квадрате конец аргумента плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 левая круглая скобка синус x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 левая круглая скобка синус x минус 2 правая круглая скобка конец дроби минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Решение. Первый множитель всегда положителен, если только определен, а определен он при $дробь: числитель: 25, знаменатель: 4 конец дроби Пи в квадрате минус x в квадрате больше 0,$ то есть при $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ Решим теперь на этом промежутке неравенство

$дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 левая круглая скобка синус x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 левая круглая скобка синус x минус 2 правая круглая скобка конец дроби минус 1 меньше или равно 0.$

Заменим $t= синус x.$ Имеем:

$дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка конец дроби минус 1 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка конец дроби минус 1 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: минус 18 минус 2t в квадрате минус 4t плюс 16, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка t в квадрате плюс 2t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $равносильно дробь: числитель: минус 18 минус 2t в квадрате минус 4t плюс 16, знаменатель: левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка t в квадрате плюс 2t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Отметим, что $t принадлежит левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка ,$ поэтому $t плюс 4 больше 0,$ $t минус 2 меньше 0.$ Поэтому требуется, чтобы $минус 2 левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0.$ Это возможно только при $t= минус 1.$ Тогда $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $k принадлежит Z .$ Отбирая корни на заданном промежутке, получим $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

521219

$минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$