PDF-версии: 
Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке D, прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б) Пусть L — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны
Решение. а) Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку C, пересекает общую касательную AB в точке M. Тогда
то есть медиана CM треугольника ABC равна половине стороны AB. Значит, 
Тогда 
поэтому AE — диаметр меньшей окружности. Следовательно, прямая AE перпендикулярна прямой AB. Аналогично докажем, что прямая BD перпендикулярна прямой AB. Прямые AE и BD перпендикулярны одной и той же прямой AB, значит, они параллельны.
б) Пусть радиусы окружностей равны r и R, где r < R. Заметим (доказательство ниже), что 
Проведем равный AB перпендикуляр EF из точки E на BD. Тогда:
Отрезок AC — высота прямоугольного треугольника ABE, проведённая из вершины прямого угла, а EB и ED — секущие к большей окружности, проведённые из одной точки, поэтому
Следовательно,
Ответ: 
Примечание.
Докажем, что заключенный между точками касания отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям равен 
Пусть точка O1 — центр окружности радиусом r, точка O2 — центр окружности радиусом R, и пусть A и B — точки касания окружностей с касательной. Не ограничивая общности, будем считать, что 
Покажем, что 
Из точки O1 проведём к O2B перпендикуляр O1H. Paдиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, потому отрезки O1A1 и O2A2, перпендикулярные общей касательной, параллельны между собой. Отрезки AB и O1H, перпендикулярные радиусу O2B, также параллельны между собой. Следовательно, четырёхугольник O1ABH — параллелограмм, являющийся прямоугольником. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому 
Треугольник O1HO2 — прямоугольный, в нём 
По теореме Пифагора находим:
Следовательно, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |