РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 524607 Добавить в вариант

Источник: РЕШУ ЕГЭ

Классификатор алгебры: Системы с параметром, Системы уравнений

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности, Перебор случаев

Задача с параметром. Использование симметрий

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений a левая круглая скобка y в степени 4 плюс 3 правая круглая скобка =x плюс 3 левая круглая скобка 1 минус |y| правая круглая скобка ,|x| плюс |y|=3 конец системы .$

имеет единственное решение.

Решение. Система не меняется при смене знака переменной y. Поэтому, поскольку система должна иметь единственное решение, это решение должно иметь вид (x; 0). Найдем, при каких а система будет иметь решения (x; 0).

Для y  =  0 система принимает вид

$система выражений 3a=x плюс 3,|x|=3, конец системы .$

откуда $x= \pm 3,$ тогда $a=2$ или $a=0.$ Осталось проверить, не имеет ли система других решений кроме (3; 0) для $a=2$ и (−3; 0) для $a=0.$

Если $a=2,$ то имеем:

$система выражений 2 левая круглая скобка y в степени 4 плюс 3 правая круглая скобка =x плюс 3 левая круглая скобка 1 минус |y| правая круглая скобка ,|x| плюс |y|=3 конец системы . равносильно система выражений x=2y в степени 4 плюс 3|y| плюс 3,2y в степени 4 плюс 3|y| плюс 3 плюс |y| =3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x=2y в степени 4 плюс 3|y| плюс 3,2y в степени 4 плюс 4|y| =0 конец системы . равносильно система выражений x=2y в степени 4 плюс 3|y| плюс 3,|y| левая круглая скобка |y| в кубе плюс 2 правая круглая скобка =0 конец системы . равносильно система выражений x=3,y=0. конец системы .$ $система выражений 2 левая круглая скобка y в степени 4 плюс 3 правая круглая скобка =x плюс 3 левая круглая скобка 1 минус |y| правая круглая скобка ,|x| плюс |y|=3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x=2y в степени 4 плюс 3|y| плюс 3,2y в степени 4 плюс 3|y| плюс 3 плюс |y| =3 конец системы . равносильно система выражений x=2y в степени 4 плюс 3|y| плюс 3,2y в степени 4 плюс 4|y| =0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x=2y в степени 4 плюс 3|y| плюс 3,|y| левая круглая скобка |y| в кубе плюс 2 правая круглая скобка =0 конец системы . равносильно система выражений x=3,y=0. конец системы .$ $система выражений 2 левая круглая скобка y в степени 4 плюс 3 правая круглая скобка =x плюс 3 левая круглая скобка 1 минус |y| правая круглая скобка ,|x| плюс |y|=3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x=2y в степени 4 плюс 3|y| плюс 3,2y в степени 4 плюс 3|y| плюс 3 плюс |y| =3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x=2y в степени 4 плюс 3|y| плюс 3,2y в степени 4 плюс 4|y| =0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x=2y в степени 4 плюс 3|y| плюс 3,|y| левая круглая скобка |y| в кубе плюс 2 правая круглая скобка =0 конец системы . равносильно система выражений x=3,y=0. конец системы .$

Итак, система имеет единственное решение.

Если $a=0,$ то имеем:

$система выражений 0=x плюс 3 левая круглая скобка 1 минус |y| правая круглая скобка ,|x| плюс |y|=3 конец системы . равносильно система выражений x=3|y| минус 3,\left| 3|y| минус 3 | плюс |y|=3. конец системы . равносильно система выражений x=3|y| минус 3,\left3| |y| минус 1 | плюс |y|=3. левая круглая скобка * правая круглая скобка конец системы .$ $система выражений 0=x плюс 3 левая круглая скобка 1 минус |y| правая круглая скобка ,|x| плюс |y|=3 конец системы . равносильно система выражений x=3|y| минус 3,\left| 3|y| минус 3 | плюс |y|=3. конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x=3|y| минус 3,\left3| |y| минус 1 | плюс |y|=3. левая круглая скобка * правая круглая скобка конец системы .$

При $y больше или равно 1$ уравнение (*) принимает вид $4y минус 3=3$ и имеет корень $y= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$ Следовательно, при $a=0,$ система имеет более одного решения. (Нетрудно показать, что решений 3, но об этом не спрашивают.)

Ответ: $a=2.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен правильный ответ, но допущена описка или арифметическая ошибка непринципиального характера.	3
С помощью верного рассуждения получены значения $a=2$ и $a=0$ .	2
Показано, что при a = 2 система имеет единственное решение.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: $a=2.$

524607

$a=2.$

Источник: РЕШУ ЕГЭ

Классификатор алгебры: Системы с параметром, Системы уравнений

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	524607	$a=2.$