PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания 
а боковое ребро 
На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую KM и параллельна SA.
а) Докажите, что плоскость делит ребро AC в отношении 1 : 4, считая от вершины A.
б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.
Решение. а) Пусть плоскость пересекает ребра SB и AC в точках L и N соответственно. Поскольку прямая SA параллельна плоскости
прямая MN лежит в плоскости и прямые MN и SA лежат в одной плоскости, то MN|| SA , а значит,
б) Пусть точка H — середина ребра BC. Тогда медианы AH и SH треугольников ABC и SBC соответственно являются их высотами, а значит, плоскость ASH перпендикулярна прямой BC.
Поскольку плоскость параллельна прямой SA, расстояние между прямыми SA и KM равно расстоянию между прямой SA и плоскостью 
Прямые BC и KN параллельны, поскольку
Следовательно, прямая КN перпендикулярна плоскости ASH, значит, плоскости ASH и перпендикулярны.
Пусть плоскость ASH пересекает прямые KN и LM в точках E и F соответственно. Тогда расстояние между прямой SA и плоскостью равно расстоянию h между прямыми SA и EF.
Высота SO пирамиды SABC лежит в плоскости ASH, 
откуда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |