PDF-версии: 
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка K — середина ребра C1D1.
а) Докажите, что расстояние от вершины A1 до прямой BK равно ребру куба.
б) Найдите угол между плоскостями KBA1 и BCC1.
Решение. а) Пусть AB = a, тогда
и 
В треугольнике A1BK по теореме косинусов
Опустим перпендикуляр A1H из вершины A1 на прямую BK Отрезок A1H — высота треугольника A1BK.
Тогда
Следовательно, расстояние от вершины A1 до прямой BK равно ребру куба.
б) Найдём площадь треугольника A1BK.
Проекцией этого треугольника на плоскость BCC1 является треугольник BB1C1.
Площадь этого треугольника 
Отношение площадей треугольников BB1C1 и A1BK. является косинусом угла 
между плоскостями 
и 
Следовательно,
Тогда искомый угол 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |