РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 527158 Добавить в вариант

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019

Классификатор стереометрии: Конус, Угол между прямой и плоскостью

Стереометрическая задача. Круглые тела: цилиндр, конус, шар

Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания O равен 5, а его высота равна $корень из: начало аргумента: 51 конец аргумента .$ Точка M  — середина образующей SA конуса, а точки N и B лежат на основании конуса, причём прямая MN параллельна образующей конуса SB.

а)  Докажите что $\angle ANO$   — прямой.

б)  Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если AB  =  8.

Решение. а)  Поскольку точка M  — середина образующей SA, а прямая MN параллельна образующей SB, точка  N  — середина отрезка  AB. Медиана  NO равнобедренного треугольника AOB является его высотой. Таким образом, $\angle ANO = 90 градусов.$

б)  Пусть точка H  — середина отрезка AO. Тогда MH  — средняя линия треугольника ASO и параллельна высоте конуса SO, а значит, перпендикулярна плоскости основания конуса. Следовательно, угол между прямой BM и плоскостью основания конуса равен углу MBH.

В треугольнике AOB

$косинус \angle OAB= дробь: числитель: AN, знаменатель: AO конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ,$

$BH= корень из: начало аргумента: AH в квадрате плюс AB в квадрате минус 2AH умножить на AB умножить на косинус \angle OAB конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 153 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $BH= корень из: начало аргумента: AH в квадрате плюс AB в квадрате минус 2AH умножить на AB умножить на косинус \angle OAB конец аргумента =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 153 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $BH=$
$= корень из: начало аргумента: AH в квадрате плюс AB в квадрате минус 2AH умножить на AB умножить на косинус \angle OAB конец аргумента =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 153 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

В треугольнике MHB

$MH= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 51 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $тангенс \angle MBH= дробь: числитель: MH, знаменатель: HB конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби ,$

откуда $\angle MBH=30 градусов .$

Ответ: б) 30°.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 30°.

527158

б) 30°.

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор стереометрии: Конус, Угол между прямой и плоскостью

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527158	б) 30°.