Ре­ше­ние. До­пу­стим Тогда апо­фе­ма грани равна а угол между бо­ко­вым реб­ром и ос­но­ва­ни­ем можно найти из тре­уголь­ни­ка SAO, где O  — центр ос­но­ва­ния. Тогда и, зна­чит, По усло­вию тан­генс этого угла равен по­это­му ко­си­нус равен Итак, от­ку­да Под­став­ляя это вы­ра­же­ние в урав­не­ние про апо­фе­му, по­лу­чим Тогда сто­ро­на ос­но­ва­ния 2 и вы­со­та пи­ра­ми­ды

а)  От­ме­тим точку M  — се­ре­ди­ну EF. Она лежит на AO и делит его в от­но­ше­нии то есть Рас­смот­рим плос­кость ASC и обо­зна­чим за P точку пе­ре­се­че­ния MK и SO. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка CSO и пря­мой KPM имеем от­ку­да Про­ве­дем те­перь через точку P пря­мую, па­рал­лель­ную BD (а сле­до­ва­тель­но, и EF). Она пе­ре­се­чет ребра SD и SB в точ­ках U и V со­от­вет­ствен­но, таких что Пя­ти­уголь­ник EFUKV  — се­че­ние.

По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка CMK и пря­мой OPS имеем от­ку­да По­сколь­ку про­ек­ция MK на плос­кость ос­но­ва­ния  — пря­мая пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой EF, то и пря­мая MK пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой EF. Если опу­стить пер­пен­ди­ку­ляр KT на OC, то тре­уголь­ни­ки CKT и CSO будут по­доб­ны, по­это­му

от­ку­да и

Кроме того, По­это­му

На­ко­нец,

б)  Вве­дем ко­ор­ди­на­ты с на­ча­лом в точке A и осями, на­прав­лен­ны­ми по AB, AD и пер­пен­ди­ку­ля­ру к плос­ко­сти ос­но­ва­ния со­от­вет­ствен­но. Тогда точки будут иметь сле­ду­ю­щие ко­ор­ди­на­ты  — Точка K делит SC в от­но­ше­нии по­это­му ее ко­ор­ди­на­ты будут Най­дем урав­не­ние плос­ко­сти EFK. Пусть оно имеет вид Под­став­ляя ко­ор­ди­на­ты точек, по­лу­чим три урав­не­ния:

Возь­мем тогда из пер­вых двух урав­не­ний а тогда из по­след­не­го Итак, ее урав­не­ние

Най­дем те­перь угол между этой плос­ко­стью и век­то­ром :

Ответ: а) б)