Ре­ше­ние. По усло­вию по­это­му тре­уголь­ник BSD  — рав­но­сто­рон­ний. Пусть тогда Зна­чит, апо­фе­ма пи­ра­ми­ды равна

а вы­со­та пи­ра­ми­ды (то есть вы­со­та тре­уголь­ни­ка SCA) равна

Рас­смот­рим тре­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный двумя апо­фе­ма­ми про­ти­во­по­лож­ных гра­ней и от­рез­ком дли­ной со­еди­ня­ю­щим их концы. С одной сто­ро­ны его пло­щадь равна

C дру­гой сто­ро­ны она же равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния апо­фе­мы на вы­со­ту к ней, по­это­му эта вы­со­та равна а рас­сто­я­ние от точки H до апо­фе­мы  — вдвое мень­ше. Но оно и есть рас­сто­я­ние от H до плос­ко­сти CSD, от­ку­да

а)  Рас­смот­рим центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка SCA (он же  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка SDB). Это точка рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин, по­это­му яв­ля­ет­ся цен­тром опи­сан­ной сферы пи­ра­ми­ды. Зна­чит,

б)  Се­че­ние пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью  — оче­вид­но квад­рат со сто­ро­ной и пло­ща­ди 7. Се­че­ние сферы ра­ди­у­са R плос­ко­стью, про­хо­дя­щей на рас­сто­я­нии от цен­тра, пред­став­ля­ет собой окруж­ность ра­ди­у­сом Оче­вид­но рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до се­ре­ди­ны вы­со­ты равно

По­это­му пло­щадь се­че­ния будет равна:

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно

Ответ: а) б)