Тип Д10 C2 № 532282 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 AB = 4, 
На ребрах AB и B1C1 оснований взяты соответственно точки M и N так, что BM : AB = B1N : B1C1 = 1 : 4. Через середину P бокового ребра BB1 проведено сечение призмы, перпендикулярное прямой MN.
а) Докажите, что плоскость сечения делит ребро АА1в отношении 5:1, считая от вершины A.
б) Найдите площадь сечения.
Решение. 
а) Пусть M' — проекция M на A1B1, а N' — проекция N на BC. Очевидно, 
следовательно, 
значит, MN'NM — плоскость, содержащая прямую 
Заметим, что MN'NM||AA1C1C. Опустим из точки P перпендикуляр PP1 на MN'NM. Так как P — середина BB1, то P1 — центр прямоугольника MN'NM, то есть середина диагонали MN. Через точку P' в плоскости MN'NM проведем отрезок Q'R' перпендикулярен MN, где 
PP' перпендикулярен MN'NM, следовательно, PP' перпендикулярен MN, значит, PP' лежит в сечении R'Q' перпендикулярен MN, 
следовательно, R'Q' лежит в сечении.
Исходя из этого, искомая плоскость — это PR'Q'. Продлим PQ' до AA', 
до 
Таким образом, мы построим искомое сечение — треугольник PQR. Найдем, в каком отношении точка Q делит AA1:
Треугольники MP'Q'и MM'N подобны;
откуда 
Рассмотрим грань AA1B1B.
Пусть 
треугольники PT'Q' и PTQ подобны 
Следовательно,
Таким образом, 
б) Заметим, что прямая 
следовательно, 
содержит высоту треугольника PQR и hP равна высоте треугольника ABC, то есть 
Заметим, что 
Вычислим 
тогда 
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов — а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: б)
532282
б)
PDF-версии: