Тип Д18 C7 № 543779 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
За круглым столом сидели 110 человек, а на столе лежали абрикосы. Для каждой пары соседей число съеденных ими абрикосов отличается на 3.
а) Могли ли быть съедены все абрикосы, если изначально их было 1000?
б) Какое наименьшее число абрикосов могло остаться, если изначально их было 1000?
в) Пусть один из присутствующих съел a абрикосов, а другой b. Найдите наибольшее возможное значение a − b при условии, что изначально было 10 000 абрикосов.
Решение. Допустим человек съел x абрикосов. Тогда его сосед съел либо x − 3, либо x + 3 абрикоса. Поэтому у соседей остаток от деления числа съеденных абрикосов на 3 одинаков. Значит, у всех людей эти остатки одинаковы. Кроме того, у любых двух соседей вместе нечетное число абрикосов: 2x − 3 или 2x + 3.
а) Нет. Разобьем людей на 55 пар соседей. В каждой паре люди вместе съели нечетное число абрикосов, поэтому и вообще все люди съели нечетное число абрикосов.
б) Докажем, что мог остаться один абрикос. Раздадим людям через одного по 9 абрикосов, а из остальных каким-то 29 человекам по 12 абрикосов, а остальным 55 − 29 = 26 людям по 6 абрикосов. Тогда общее число абрикосов составит 
в) Выберем людей с минимальным и максимальным числом съеденных абрикосов. Между ними сидит не более 54 человек (при подсчете в одну из сторон). Каждый следующий в этой цепочке съел не более чем на 3 больше предыдущего, поэтому 
Такая ситуация возможна: если 1-й съел 0, 2-й — 3, 3-й — 6, ..., 56-й — 165, 57-й — 162, ..., 110-й человек съел 3 абрикоса. Тогда любая пара противоположных съела 165 абрикосов, а общее количество абрикосов 
Итак, наибольшее возможное значение разности равно 165.
Ответ: а) нет, б) один, в) 165.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) нет, б) один, в) 165.
543779
а) нет, б) один, в) 165.
PDF-версии: