Ре­ше­ние. Пе­рейдём к рав­но­силь­но­му урав­не­нию:

Рас­смот­рим функ­цию Эта функ­ция убы­ва­ет при и воз­рас­та­ет при Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень на ин­тер­ва­ле (−1; 1) в одном из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев:

1)  функ­ция f(x) об­ра­ща­ет­ся в ноль в един­ствен­ной точке, и эта точка при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу (−1; 1);

2)  функ­ция f(x) при­ни­ма­ет при и не­ну­ле­вые зна­че­ния раз­ных зна­ков;

3)  функ­ция f(x) при­ни­ма­ет ну­ле­вое зна­че­ние при а при   — по­ло­жи­тель­ное;

4)  функ­ция f(x) при­ни­ма­ет ну­ле­вое зна­че­ние при а при   — по­ло­жи­тель­ное.

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. Функ­ция f(x) об­ра­ща­ет­ся в ноль в един­ствен­ной точке тогда и толь­ко тогда, когда то есть когда При этом нулём функ­ции яв­ля­ет­ся точка ко­то­рая при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу (−1; 1).

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай. Имеем

Рас­смот­рим тре­тий слу­чай. Если то при имеем от­ку­да

Рас­смот­рим четвёртый слу­чай. Если то при имеем

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пе­ре­не­сем сла­га­е­мые из пра­вой части в левую и за­ме­тим, что в левой части пол­ный квад­рат:

По­стро­им гра­фик функ­ции в плос­ко­сти xOa на ин­тер­ва­ле При урав­не­ние имеет вид При урав­не­ние имеет вид (см. рис).

За­да­ча све­лась к от­ве­ту на во­прос: при каких зна­че­ни­ях a го­ри­зон­таль­ная пря­мая пе­ре­се­ка­ет гра­фик функ­ции в един­ствен­ной точке? На ри­сун­ке видно, что при и при урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.