РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 561740 Добавить в вариант

Источники:

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения и неравенства, Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в квадрате плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 2x правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Заметим, что

$левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в квадрате = косинус x в квадрате минус 2 синус x косинус x плюс синус x в квадрате = 1 минус синус 2x,$ $левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в квадрате =$
$= косинус x в квадрате минус 2 синус x косинус x плюс синус x в квадрате = 1 минус синус 2x,$ $левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка в квадрате =$
$= косинус x в квадрате минус 2 синус x косинус x плюс синус x в квадрате =$
$= 1 минус синус 2x,$

$корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 2x правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка синус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби косинус 2x минус косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби синус 2x правая круглая скобка = косинус 2x плюс синус 2x.$ $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 2x правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка синус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби косинус 2x минус косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби синус 2x правая круглая скобка =$
$= косинус 2x плюс синус 2x.$

Далее получаем:

$1 минус синус 2x плюс синус 2x плюс косинус 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x=0 равносильно$

$равносильно 1 плюс левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x=0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x=0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений косинус x=0, косинус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x=\pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $равносильно совокупность выражений косинус x=0, косинус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x=\pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

561740

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 349;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 343.

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	561740	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$