PDF-версии: 
В правильной восьмиугольной призме ABCDEFGHA1B1C1D1E1F1G1H1 сторона основания AB равна 
а боковое ребро AA1 равно 6. Ha pe6pe CC1 отмечена точка M так, что 
Плоскость 
параллельна прямой H1E1 и проходит через точки
а) Докажите, что сечение данной призмы плоскостью α — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F1, а основанием — сечение данной призмы плоскостью α.
Решение. а) Заметим, что прямые EH и E1H1 параллельны, следовательно, плоскость α пересекает нижнее основание трапеции по прямой, параллельной EH и содержащей точку A. Такой прямой является прямая, cодержащая диагональ AD основания, то есть AD — сторона сечения. Вторая сторона сечения — это отрезок DM. Плоскости ABC и BCC1 пересекаются по прямой CB, параллельной AD, следовательно, плоскость α пересекает плоскость BCC1 по прямой, параллельной ребру двугранного угла DBCM, то есть параллельной BC. Назовем эту прямую MN, где N лежит на ребре BB1.
Таким образом, прямые AD, BC и MN параллельны между собой. Кроме того, 
следовательно, ADMN — трапеция. Легко заметить, что треугольники ABN и DCM равны и, следовательно, 
б) Построим сечение призмы, проходящее через точки P, Q, R и S — середины ребер BC, B1C1, F1G1 и FG соответственно. Очевидно, что указанное сечение проходит также через точки K и L — середины AD и MN, а также перпендикулярно этим отрезкам.
Заметим, что прямые F1G1, E1H1 и плоскость α параллельны между собой, следовательно, расстояния до плоскости α от всех точек этой прямой равны. Из точки R на прямую KL опустим перпендикуляр RO, заметим, что прямые RO и AD взаимно перпендикулярны, следовательно, прямая RO перпендикулярна плоскости α.
Расстояние от точки F до плоскости равно длине RO. Пусть T — точка пересечения RO и PS. Значит,
откуда
Теперь можно найти площадь трапеции ADMN: 
Заметим, что треугольники LPK, KTO и RTS подобны. Следовательно,
откуда
тогда
Итак,
а значит, объем пирамиды F1ADMN равен
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |