РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 562936 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби минус косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби = синус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби минус косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 4 конец дроби = синус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка равносильно минус косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = косинус x равносильно$
$равносильно косинус x плюс косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно 2 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 1=0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус 1, косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = Пи плюс 2 Пи k, дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z равносильно дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z .$ $равносильно совокупность выражений косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус 1, косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = Пи плюс 2 Пи k, дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z .$

б)  Найдём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка ,$ решив неравенство:

$дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби \leqslant4 Пи равносильно дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс k \leqslant3 равносильно дробь: числитель: 11, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно k \leqslant2,5 \undersetk принадлежит Z \mathop равносильно k=2.$

Получаем число $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 Пи умножить на 2, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби :k принадлежит Z . правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

562936

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби :k принадлежит Z . правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562936	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби :k принадлежит Z . правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$