PDF-версии: 
Дана правильная треугольная пирамида SABC, AB = 24, высота SH, проведённая к основанию, равна 14, точка K — середина AS, точка N — середина BC. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что PQ проходит через середину отрезка SN.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью APQ.
Решение. а) Плоскость ASB пересекает параллельные плоскости KQP и ABC по параллельным прямым, поэтому прямые KQ и AB параллельны. Аналогично параллельны прямые KP и AC. Значит, точка Q — середина ребра BS, точка P — середина ребра CS. Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на основании, параллельном этой средней линии, а потому делит пополам и отрезок SN.
б) Пусть прямые SN и PQ пересекаются в точке R. Тогда прямая AR перпендикулярна прямой PQ, прямая AN перпендикулярна прямой BC, а прямая пересечения плоскостей ABC и APQ параллельна прямым BC и PQ. Значит, угол RAN равен искомому углу между плоскостями. Из равностороннего треугольника ABC получаем:
а из треугольника SHN по теореме Пифагора:
поэтому 
Следовательно, 
По теореме косинусов для треугольника ANR:
Аналогично находим:
откуда 
Ответ: 
Приведем решение Ольги Романко.
Пусть прямые SN и PQ пересекаются в точке R. Тогда прямая AR перпендикулярна прямой PQ, прямая AN перпендикулярна прямой BC, а прямая пересечения плоскостей ABC и APQ параллельна прямым BC и PQ. Значит, угол RAN равен искомому углу между плоскостями. Проведем через точку R прямую параллельно прямой SH. Пусть точка T — точка пересечения этой прямой с отрезком AN. В треугольнике SHN отрезок RT — средняя линия, тогда
Предоставляем читателю возможность самостоятельно убедиться, что ответы, полученные разными способами, соответствуют одному и тому же углу.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |