РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 627641 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 386

Классификатор планиметрии: Треугольники, Окружность, вписанная в треугольник, Окружности и треугольники

Планиметрическая задача. Окружности и системы окружностей

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC. В треугольники ABD и ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K.

а)  Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

б)  Найдите длину отрезка AK, если периметр треугольника ABC равен 30, а длина стороны BC равна 10.

Решение. а)  Обозначим точки касания окружностей с прямыми, как показано на рисунке. Имеем:

$KR=KX,\quad\quad KY=KS,\quad\quad XD=DP,\quad\quad DY=DQ,\quad\quad RS=PQ,$

отсюда

$PQ=XY плюс YD плюс DQ=XY плюс XK плюс KR=RS,$

следовательно, KX  =  YD, KD  =  PQ. Тогда

$AK=AD минус KD=AD минус PQ=AD минус левая круглая скобка p_ABD минус AB правая круглая скобка минус левая круглая скобка p_ADC минус AC правая круглая скобка =$

$=AD плюс AB плюс AC минус дробь: числитель: AB плюс AD плюс BD плюс AD плюс DC плюс AC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: AB плюс AC минус BC, знаменатель: 2 конец дроби =p_ABC минус BC,$ $=AD плюс AB плюс AC минус дробь: числитель: AB плюс AD плюс BD плюс AD плюс DC плюс AC, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: AB плюс AC минус BC, знаменатель: 2 конец дроби =p_ABC минус BC,$

где p  — полупериметр. Что и требовалось доказать.

б)  Из п. а) получаем:

$AK=p_ABC минус BC=15 минус 10=5.$

Ответ: б) 5.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 5.

627641

б) 5.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 386

Классификатор планиметрии: Треугольники, Окружность, вписанная в треугольник, Окружности и треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	627641	б) 5.