PDF-версии: 
Дан правильный треугольник ABC. Точка D лежит вне плоскости ABC, 
а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если AC = 6.
Решение. а) Пусть H — проекция точки D на плоскость ABC, M и N — проекции точки H на прямые AB и AC соответственно. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах прямые DM и AB перпендикулярны, прямые DN и AC перпендикулярны. Тогда
следовательно, треугольники AMH и ANH равны, AH — биссектриса угла BAC, а прямые AH и BC перпендикулярны. Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямые AD и BC перпендикулярны. Что и требовалось доказать.
б) Пусть AK — высота треугольника ABC. Тогда прямые AK и BC перпендикулярны, DH и BC перпендикулярны, и прямая BC перпендикулярна плоскости AKD. Следовательно, высота KE треугольника AKD будет искомым расстоянием. Заметим, что
Тогда, окончательно:
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) ffff fffffff.
Как показано в основном решении, искомым расстоянием будет высота KE треугольника AKD. Пусть AD = x, тогда по теореме косинусов из треугольника ABD получим:
Аналогично найдем DC = DB.
В равнобедренном треугольнике BDC найдем высоту DK:
В равностороннем треугольнике ABC найдем высоту AK:
В треугольнике ADK найдем косинус угла DAK:
Тогда 
Следовательно, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |