РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй  — 102, в третьей  — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а)  Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй  — 102, в третьей  — 103, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?

в)  Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Решение. а)  да. Можно, например, сделать такие действия:

б)  Если в одной коробке окажется 306 камней, то остальные будут пусты. Однако нетрудно видеть, что в коробках 1 и 2 количества камней каждый ход меняют четность, поэтому всегда остаются разной четности и не могут оба стать нулями.

в)  Покажем, как получить в первой коробке 303 камня:

$левая круглая скобка 101,102,103,0 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 100,101,102,3 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 99,100,101,6 правая круглая скобка \mapsto \ldots \mapsto левая круглая скобка 75,76,77,78 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 78,75,76,77 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 81,74,75,76 правая круглая скобка \mapsto \ldots \mapsto левая круглая скобка 303,0,1,2 правая круглая скобка .$

Больше сделать нельзя. Действительно, начальные количества камней давали разные остатки от деления на 4, и это свойство сохранится, поскольку от каждого количества вычитают 1, а потом к одному прибавляем 4. Значит, минимум $0 плюс 1 плюс 2$ камня не попадут в четвертую коробку, что дает оценку $101 плюс 102 плюс 103 минус 0 минус 1 минус 2=303$ камня.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  303.

Примечание.

Заметим, что и в четвертой коробке можно получить максимум 303 камня: если проделать описанную в условии операцию 101 раз с первыми тремя коробками, то в четвертой окажется 303 камня. Большее количество получить нельзя, поскольку, как показано выше, разные остатки при делении на 4 являются инвариантом при перекладывании камней.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	630125	а)  да; б)  нет; в)  303.

Ключ