РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$a в квадрате минус 4x в квадрате плюс 8 |x| минус 4 = 0$

имеет ровно два различных корня.

Решение. При $x меньше или равно 0$ исходное уравнение принимает вид:

$a в квадрате минус 4x в квадрате минус 8x минус 4 = 0 равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 2x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 2x плюс 2 правая круглая скобка = 0.$ $a в квадрате минус 4x в квадрате минус 8x минус 4 = 0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 2x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 2x плюс 2 правая круглая скобка = 0.$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости Oxa пару лучей: луч l₁ с началом в точке  $левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка ,$ совпадающий с прямой $a = 2x плюс 2$ при $x меньше или равно 0,$ и луч l₂ с началом в точке  $левая круглая скобка 0; минус 2 правая круглая скобка ,$ совпадающий с прямой $a = минус 2x минус 2$ при $x меньше или равно 0.$ Лучи l₁ и l₃ пересекаются в точке  $левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка .$ При $x больше или равно 0$ исходное уравнение принимает вид:

$a в квадрате минус 4x в квадрате плюс 8x минус 4 = 0 равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка 2x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 2x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 2x минус 2 правая круглая скобка = 0.$ $a в квадрате минус 4x в квадрате плюс 8x минус 4 = 0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус левая круглая скобка 2x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 2x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 2x минус 2 правая круглая скобка = 0.$

Получившееся уравнение задаёт на плоскости Oxa пару лучей: луч l₃ с началом в точке  $левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка ,$ совпадающий с прямой $a = 2 минус 2x$ при $x больше или равно 0,$ и луч l₄ с началом в точке  $левая круглая скобка 0; минус 2 правая круглая скобка ,$ совпадающий с прямой $a = 2x минус 2$ при $x больше или равно 0.$ Лучи l₃ и l₄ пересекаются в точке  $левая круглая скобка 1; 0 правая круглая скобка .$

Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой $a = c$ с объединением лучей l₁, l₂, l₃ и l₄.

Каждый из лучей l₁ и l₃ пересекается с прямой $a = c$ в одной точке при $c меньше или равно 2$ и не пересекается при $c больше 2.$

Каждый из лучей l₂ и l₄ пересекается с прямой $a = c$ в одной точке при $c больше или равно минус 2$ и не пересекается при $c меньше минус 2.$

Следовательно, при $a меньше минус 2$ и $a больше 2$ исходное уравнение имеет ровно два различных корня. При $c = минус 2$ и при $c = 2$ прямая $a = c$ проходит через общую точку лучей l₂ и l₄, l₁ и l₃ соответственно. Значит, при $a = минус 2$ и $a = 2$ исходное уравнение имеет ровно три корня.

При $c = 0$ прямая $a = c$ проходит через точки пересечения лучей l₃ и l₄, l₁ и l₂. Значит, при $a = 0$ исходное уравнение имеет ровно два корня.

Следовательно, при $минус 2 меньше a меньше 0$ и $0 меньше a меньше 2$ исходное уравнение имеет ровно четыре корня.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при $a меньше минус 2,$ $a = 0,$ и $a больше 2.$

Ответ: $a меньше минус 2,$ $a = 0,$ $a больше 2.$

Приведем другое решение.

Пусть $x больше или равно 0.$ Тогда $a в квадрате = 4 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате ,$ откуда $a = \pm 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка ,$ значит, в этом случае корнями могут быть числа $x_1 = дробь: числитель: a плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $x_2 = дробь: числитель: 2 минус a, знаменатель: 2 конец дроби .$ Получим два случая: $x_1 больше или равно 0$ при $a больше или равно минус 2,$ $x_2 больше или равно 0$ при $a меньше или равно 2.$ Отдельно отметим, когда корни совпадают: $x_1 = x_2 = 1$ при $a = 0.$

Пусть теперь $x меньше 0.$ Тогда $a в квадрате = 4 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате$ откуда $a = \pm 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка ,$ значит, в этом случае корнями уравнения могут быть числа $x_3 = дробь: числитель: a минус 2, знаменатель: 2 конец дроби$ и $x_4 = дробь: числитель: минус 2 минус a, знаменатель: 2 конец дроби .$ Получим два случая: $x_3 меньше 0$ при $a меньше 2,$ $x_4 меньше 0$ при $a больше минус 2.$ Отдельно отметим, когда корни совпадают: $x_3 = x_4 = минус 1$ при $a = 0.$

Теперь подведем итоги:

—  при $a меньше минус 2$ корнями исходного уравнения являются числа x₂ и x₃  — 2 корня;

—  при $a = минус 2$ корнями исходного уравнения являются числа x₁, x₂ и x₃  — 3 корня;

—  при $минус 2 меньше a меньше 0$ корнями исходного уравнения являются числа x₁, x₂, x₃, x₄  — 4 корня;

—  при $a = 0$ корнями исходного уравнения являются числа $x_1 = x_2$ и $x_3 = x_4$   — 2 корня;

—  при $0 меньше a меньше 2$ корнями исходного уравнения являются числа x₁, x₂, x₃, x₄  — 4 корня;

—  при $a = 2$ корнями исходного уравнения являются числа x₁, x₂, x₄  — 3 корня;

—  при $a больше 2$ корнями исходного уравнения являются числа x₁ и x₄  — 2 корня.

Таким образом, получаем $a меньше минус 2,$ $a = 0,$ $a больше 2.$

Приведем решение Натальи Захаровой.

Пусть $t = |x|,$ тогда получим

$a в квадрате минус 4t в квадрате плюс 8t минус 4 = 0 равносильно t = 1 \pm дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .$

Исходное уравнение имеет два корня, если корни t₁ и t₂ совпадают и при этом положительны, либо если один из них отрицательный, а второй положительный.

Корни $1 плюс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ и $1 минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ совпадают при $a = 0,$ в этом случае $t = 1$ и исходное уравнение имеет два корня.

Корень $1 минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ отрицателен при $a больше 2,$ тогда корень $1 плюс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ положителен, и исходное уравнение имеет два корня.

Корень $1 плюс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ отрицателен при $a меньше минус 2,$ тогда корень $1 минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ положителен, и исходное уравнение также имеет два корня.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек $a= минус 2$ и / или $a=2$	3
С помощью верного рассуждения получены промежутки $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$ множества значений a, возможно с включением границ ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

№ п/п	№ задания	Ответ
1	630131	$a меньше минус 2,$ $a = 0,$ $a больше 2.$

Ключ