РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N  — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если $AD=7,$ $BC=5,$ $SO=4,$ а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

Решение. a)  Пусть плоскость α пересекает ребра SA и SD в точках L и K соответственно.

Пусть MN пересекает AC и BD в точках E, F. Тогда отрезки EL и OS, FK и OS параллельны соответственно (эти прямые лежат в одной плоскости, но не могут пересекаться, т. к. отрезок OS параллелен плоскости α. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках

$AL:LS=AE:EO=DF:FO=DK:KS,$

а отсюда следует параллельность прямых KL и AD.

Отрезок MN параллелен отрезку AD, как средняя линия трапеции ABCD, а значит, отрезок MN параллелен отрезку KL. Кроме того $AE больше EO,$ значит, $AK больше KS,$ значит, $KL меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AD.$ Отрезок MN как средняя линия трапеции строго больше половины основания AD, поэтому $KL меньше MN,$ значит, сечение не параллелограмм, а трапеция. Что и требовалось доказать .

б)  По свойству средней линии

$MN=\dfrac7 плюс 52=6.$

Тогда $ME= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC=FN,$ поэтому $EF=LK=6 минус 5=1.$

По условию отрезок SO перпендикулярен отрезку AD и отрезок AD параллелен средней линии MN. По доказанному в пункте  а) отрезки LE и SO параллельны. Значит, отрезок LE перпендикулярен отрезку MN. Следовательно,

$LE:SO=AE:AO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC:AO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка AD плюс BC правая круглая скобка :AD=6:7.$

Тогда $LE= дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби .$ По формуле площади трапеции

$S_KLMN= дробь: числитель: левая круглая скобка 6 плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби =12.$

Ответ: 12.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

№ п/п	№ задания	Ответ
1	630156	12.

Ключ