PDF-версии: 
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Точка M — середина SA, на ребре SB отмечена 
а) Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью CMN, если все рёбра равны 12.
Решение. а) Пусть O — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD, точка L — середина ребра SB, K — точка пересечения медиан треугольника SAC. Тогда
По теореме, обратной теореме Фалеса, получаем, что 
В треугольнике SBD отрезок LO — средняя линия, поэтому 
а значит, 
Тогда NK лежит в плоскости CMN, поэтому, по признаку параллельности прямой и плоскости, плоскость CMN параллельна прямой SD.
б) Пусть прямая MN пересекает плоскость основания пирамиды в точке R. Применим теорему Менелая к треугольнику ASB и прямой MN, получим:
откуда 
Тогда AP — средняя линия треугольника RBC, а значит, 
Следовательно, 
Из треугольника CDP находим
откуда 
Основание ABCD — квадрат, поэтому 
Треугольник ASC прямоугольный, поскольку 
(действительно, 
Зная, что 
найдем MC из прямоугольного треугольника MSC:
откуда 
Итак, треугольник MCP равнобедренный, его боковые стороны равны 
а основание 
Найдем высоту CQ этого треугольника:
а также его площадь:
Осталось найти площадь треугольника NMC. Для этого заметим, что 
и применим теорему косинусов к треугольникам SMN и SNC:
В треугольнике MNC известны три стороны. Применим к нему теорему косинусов, получим:
Тогда
то есть 
Следовательно,
Таким образом, для площади сечения получаем:
Ответ: б) 
Приведем идею решения пункта а) с использованием теоремы Менелая (Ирина Николаева, Тюмень).
Из треугольника RBS по теореме Менелая находим, что RA = AB, затем из треугольника RBC получаем, что точка Р — середина ребра AD, поскольку отрезок AP — средняя линия. В треугольнике DAS отрезок РM — тоже средняя линия. Таким образом, прямые РM и SD параллельны, а потому по признаку параллельности прямой и плоскости заключаем, что прямая SD параллельна плоскости CMN.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |