PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике ABC на высоте AD взята точка M, а на высоте BP точка N так, что углы BMC и ANC — прямые. Известно, что 
и 
а) Докажите, что 
б) Найдите длину биссектрисы CL треугольника MCN.
Решение. а) Заметим, что
Поэтому треугольники BMD и MCD подобны по двум углам, значит, 
откуда 
б) Из подобия треугольников CNP и CAN получаем, что 
Отсюда следует, что 
Из подобия треугольников CMD и CBM получаем, что 
а потому 
Из подобия треугольников CPB и CDA получаем, что 
откуда следует, что 
Таким образом, 
или 
Следовательно, отрезок CL — биссектриса и высота треугольника CMN.
Пусть 
тогда по теореме косинусов получаем
По теореме Пифагора, 
то есть
тогда 
Ответ: б) 
Примечание.
Заметим, что формула 
представляет собой известное соотношение: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |