РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Натуральное число называется свободным от квадратов, если оно не делится ни на один квадрат натурального числа, кроме 1. Составим последовательность {a_n}, состоящую из чисел, свободных от квадратов: пусть $a_1=1,$ и для любых натуральных  n $a_n плюс 1 больше a_n,$ где a_i  — число, свободное от квадратов.

а)  Может ли число, свободное от квадратов, иметь 15 делителей?

б)  Чему равно n, если a_n  =  326?

в)  Чему равно a₁₀₀?

Решение. а)  Все делители числа разбиваются на пары, дающие в произведении само число. Если количество делителей нечетно, один делителей образует пару сам с собой. Значит, число является квадратом этого делителя и не может быть свободно от квадратов.

б)  Выясним, сколько чисел, не свободных от квадратов, будут меньше 326. Заметим, что ровно $левая квадратная скобка дробь: числитель: n, знаменатель: x конец дроби правая квадратная скобка$ чисел от 1 до n делятся на x. Кроме того, несвободность от квадратов означает, что число делится на квадрат некоторого простого числа.

Имеется $левая квадратная скобка дробь: числитель: 326, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка =81$ число, кратное 4, $левая квадратная скобка дробь: числитель: 326, знаменатель: 9 конец дроби правая квадратная скобка =36$ чисел, кратных 9, $левая квадратная скобка дробь: числитель: 326, знаменатель: 25 конец дроби правая квадратная скобка =13$ чисел, кратных 25, $левая квадратная скобка дробь: числитель: 326, знаменатель: 49 конец дроби правая квадратная скобка =6$ чисел, кратных 49, $левая квадратная скобка дробь: числитель: 326, знаменатель: 121 конец дроби правая квадратная скобка =2$ чисел, кратных 121 и по одному числу, кратному $13 в квадрате =169$ и $17 в квадрате =289$ (сами эти числа). Итого

$81 плюс 36 плюс 13 плюс 6 плюс 2 плюс 1 плюс 1=140$

чисел. Числа могут быть также кратны двум из этих квадратов простых чисел (трем уже не могут, даже произведение трех самых маленьких из них составляет $4 умножить на 9 умножить на 25=900 правая круглая скобка .$ А именно: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 326, знаменатель: 36 конец дроби правая квадратная скобка =9$ чисел, кратных 36, $левая квадратная скобка дробь: числитель: 326, знаменатель: 100 конец дроби правая квадратная скобка =3$ числа, кратных 100 и по одному числу, кратному $14 в квадрате =196$ и $15 в квадрате =225.$ Значит, $9 плюс 3 плюс 1 плюс 1=14$ чисел были посчитаны по два раза.

Таким образом, до 326 есть $140 минус 14=126$ чисел, не свободных от квадратов. Следовательно, число 326 в последовательности имеет номер $326 минус 126 = 200.$

в)  Как следует из вышеприведенного решения, примерно

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби n плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби n минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 36 n= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби n$

чисел до n кратны 4 или 9. Возьмем для пробы

$n=100: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби =150.$

Аналогично предыдущему решению пункта б) имеются

$левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка плюс левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 9 конец дроби правая квадратная скобка плюс левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 25 конец дроби правая квадратная скобка плюс левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 49 конец дроби правая квадратная скобка плюс левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 121 конец дроби правая квадратная скобка минус левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 36 конец дроби правая квадратная скобка минус левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 100 конец дроби правая квадратная скобка =37 плюс 16 плюс 6 плюс 3 плюс 1 минус 4 минус 1=58$ $левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка плюс левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 9 конец дроби правая квадратная скобка плюс левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 25 конец дроби правая квадратная скобка плюс левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 49 конец дроби правая квадратная скобка плюс левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 121 конец дроби правая квадратная скобка минус левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 36 конец дроби правая квадратная скобка минус левая квадратная скобка дробь: числитель: 150, знаменатель: 100 конец дроби правая квадратная скобка =$
$=37 плюс 16 плюс 6 плюс 3 плюс 1 минус 4 минус 1=58$

чисел, не свободных от квадратов. Значит, $a_92=150.$

Теперь переберем следующие числа, указав их разложение на множители:

$151,$ $152=2 в кубе умножить на 19,$ $153=3 в квадрате умножить на 17,$ $154=2 умножить на 7 умножить на 11,$ $155=5 умножить на 31,$ $156=2 в квадрате умножить на 3 умножить на 13,$ $157,$ $158=2 умножить на 79,$ $159=3 умножить на 53,$ $160=2 в степени 5 умножить на 5,$ $161=7 умножить на 23,$ $162=2 умножить на 3 в степени 4 ,$ $163,$

следовательно, 163  — восьмое свободное от квадратов число в этом списке. Значит, $a_100=163.$

Ответ: а)  нет; б)  200; в)  163.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	637090	а)  нет; б)  200; в)  163.

Ключ