PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет три корня.
Решение. Пусть 
тогда каждому положительному значению t соответствует ровно одно значение x. Исходное уравнение имеет ровно три корня тогда и только тогда, когда уравнение
имеет ровно три положительных корня.
Рассмотрим функцию
Найдем её производную:
Найденная производная обращается в нуль в точках 2 и a. Для того, чтобы уравнение 
имело ровно три различных положительных корня, необходимо и достаточно (см. рис.), чтобы значение функции в нуле было отрицательным, а на положительной полуоси она имела два экстремума разных знаков, то есть чтобы имела решения система неравенств:
Заметим, что
Подставив эти значения, получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |