РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 638907 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 421

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Последовательность {a_n} для всех натуральных $n больше или равно 1$ состоит из натуральных чисел и обладает следующим свойством: последовательность средних арифметических с общим членом

$b_n= дробь: числитель: a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n, знаменатель: n конец дроби$

для $n больше или равно 1$ также состоит из натуральных чисел.

а)  Найдите a_n, если $b_n=2 в степени n$ для всех $n больше или равно 1.$

б)  Последовательность {b_n} является периодической: все члены с нечетными номерами равны c, все члены с четными номерами равны (c + 1), где c нечетное натуральное число. Найдите последние члены последовательностей {a_n} и {b_n}.

в)  Последовательность {b_n} является убывающей арифметической прогрессией с первым членом 100 и разностью d  =  –1 и имеет наибольшее возможное число членов. Сколько членов в этой последовательности?

Решение. а)  Очевидно, что

$a_n= левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n правая круглая скобка минус левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n минус 1 правая круглая скобка =nb_n минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка b_n минус 1=$
$=n2 в степени n минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =2n умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$ $a_n= левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n правая круглая скобка минус левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_n минус 1 правая круглая скобка =$
$=nb_n минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка b_n минус 1=n2 в степени n минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =$
$=2n умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$

б)  Как и в предыдущем пункте, получаем: $a_n=nb_n минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка b_n минус 1.$ При четных n это дает

$n левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка c=n плюс c.$

При нечетных n получаем: $nc минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка =c минус n плюс 1.$ Ясно, что $n плюс c больше 0,$ поэтому последовательность a_n закончится при $c минус n плюс 1 меньше или равно 0,$ то есть при $n больше или равно c плюс 1.$ Поскольку число c нечетно, первым таким нечетным n будет c + 2. Итак, последнее n, для которого определено a_n, это $n=c плюс 1$   — четное число. Значит, $a_n=n плюс c=2c плюс 1$ и $b_n=c плюс 1.$

в)  Заметим, что $b_n=101 минус n.$ Как и ранее, получим:

$a_n=nb_n минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка b_n минус 1=n левая круглая скобка 101 минус n правая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 102 минус n правая круглая скобка =$
$=101n минус n в квадрате минус 102n плюс 102 плюс n в квадрате минус n=102 минус 2n.$ $a_n=nb_n минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка b_n минус 1=$
$=n левая круглая скобка 101 минус n правая круглая скобка минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 102 минус n правая круглая скобка =$
$=101n минус n в квадрате минус 102n плюс 102 плюс n в квадрате минус n=102 минус 2n.$

Получено выражение положительно только при $n меньше или равно 50,$ поскольку уже при n  =  51 имеем: a_n  =  0. Значит, в последовательности 50 членов.

Ответ: а)   $левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ;$ б)   $a_n=2c плюс 1,$ $b_n=c плюс 1;$ в)  50.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

638907

а)   $левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ;$ б)   $a_n=2c плюс 1,$ $b_n=c плюс 1;$ в)  50.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 421

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	638907	а)   $левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ;$ б)   $a_n=2c плюс 1,$ $b_n=c плюс 1;$ в)  50.