PDF-версии: 
Окружность с центром O вписана в треугольник ABC. Касательная к окружности пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно.
а) Докажите, что сумма углов AOD и BOE равна 180°.
б) Найдите DE, если AC = BC, радиус окружности равен 1, 
а разность углов AOD и BOE равна 60°.
Решение. а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому AO и BO — биссектрисы углов A и B треугольника ABC, а DO и EO — биссектрисы внешних углов при вершинах D и E треугольника DEC. Тогда
и 
следовательно,
б) Пусть вписанная окружность радиусом 1 касается боковых сторон AC и BC в точках M и N соответственно, а отрезка DE — в точке K. По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки, DK = DM и KE = EN, откуда следует, что DE = DK + KE = DM + EN. Из условия 
и доказанного равенства в пункте а) 
получаем: 
и 
Поскольку AC = BC, углы OAD и OBE равны как половины углов при
основании равнобедренного треугольника ABC. Обозначим 
тогда 
и 
В прямоугольном треугольнике DOM известно, что OM = 3, следовательно,
Аналогично в прямоугольном треугольнике EON
Получаем
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |